2006-全国卷I理-10 单-等差数列的通项与前 n 项和

本题导读

本题考查等差数列基本几何量的计算。核心在于通过等差数列的对称求和特征快速锁定中项，进而在已知积的条件下确定公差，最终求解远端项的和。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 设 $a_n$ 是公差为正数的等差数列，若 $a_1+a_2+a_3=15$，$a_1{a}_2{a}_3=80$，则 $a_{11}+a_{12}+a_{13}=$()

A. $120$　　　　　　B. $105$　　　　　　C. $90$　　　　　　D. $75$

🔍【思路分析】

破题导航

利用等差数列的对称和性质，由 $a_1+a_2+a_3=3a_2=15$ 直接求出中项 $a_2$ 的值。 将 $a_1,a_3$ 用中项和公差 $d$ 表示为 $a_1=a_2-d,a_3=a_2+d$。 代入积的方程 $(a_2-d)\cdot a_2\cdot (a_2+d)=80$，求出公差 $d$，结合“公差为正数”进行取舍。 将目标代数式 $a_{11}+a_{12}+a_{13}$ 转化为 $3a_{12}$，利用项数差公式 $a_{12}=a_2+10d$ 计算最终结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$ ($d>0$)。 根据等差数列的性质，前三项的和可以写为： $a_1+a_2+a_3=3a_2=15⟹a_2=5$

又因为 $a_1=a_2-d=5-d$， $a_3=a_2+d=5+d$。 将此代入三个项的乘积方程中： $a_1\cdot a_2\cdot a_3=(5-d)\times 5\times (5+d)=80$ 两边同除以 5 得： $(5-d)(5+d)=16$ 运用平方差公式展开： $25-d^2=16⟹d^2=9$ 因为已知公差为正数 ($d>0$)，所以解得： $d=3$

现在计算目标代数式 $a_{11}+a_{12}+a_{13}$。根据等差数列对称求和性质，该式可化为： $a_{11}+a_{12}+a_{13}=3a_{12}$

利用等差数列的项数级差性质，将 $a_{12}$ 用已知的 $a_2$ 和 $d$ 表达： $a_{12}=a_2+(12-2)d=a_2+10d$ 代入具体数值 $a_2=5,d=3$： $a_{12}=5+10\times 3=35$

所以，目标和为： $3a_{12}=3\times 35=105$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差中项的对称加和性（$a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n$）、平方差公式在数列方程中的消元运用。
• 核心方法：中项参数化设点法。
• 避坑指南：求出 $d^2=9$ 时要留心题目中“公差为正数”的刚性限制，直接舍去 $d=-3$。另外在求远端和时，直接转化为 $3a_{12}$ 能够避免分别求出 $a_{11},a_{13}$ 的繁琐步骤。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是高考关于等差数列基本量求解的经典解答题型缩小版，主要考查对等差数列足码对称规律的熟练控制。 结论推广: 对于任意等差数列，若已知连续三项的和与积，通常设这三项为 $x-d,x,x+d$，可直接将方程组降维为 $3x=S$ 与 $x(x^2-d^2)=P$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2007-四川文-07 单-等差数列基本量求和
• 2007-辽宁卷理-04 单-等差数列片段等差性质
• 2008-北京卷理-06 单-等差数列