2006-全国卷I理-07 单-球的表面积公式

本题导读

本题考查正四棱柱外接球的几何性质。核心在于利用体积和高求出底面半径，再利用外接球中心与棱柱的相对空间结构求出球半径。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是()

A. $16\pi$　　　　　　　B. $20\pi$　　　　　　　C. $24\pi$　　　　　　　D. $32\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

利用正四棱柱的体积公式 $V=S_{\text{底}}\cdot h$，结合已知 $V=16,h=4$ 求出底面正方形的面积，进而求出底面边长。 明确外接球的几何模型特征：正四棱柱外接球的直径 $2R$ 等于该正四棱柱的体对角线长。 利用体对角线公式 $(2R{)}^2=a^2+b^2+h^2$ 计算出 $R^2$ 或 $4R^2$。 代入球的表面积公式 $S=4\pi R^2$ 求出最终结果。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：设正四棱柱的底面正方形边长为 $x$，高为 $h=4$。 根据正四棱柱的体积公式有： $V=S_{\text{底}}\cdot h=x^2\cdot 4=16⟹x^2=4$ 所以底面正方形的边长为 $x=2$。

因为正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，所以该球是正四棱柱的外接球。 根据外接球的模型性质，正四棱柱的体对角线长等于外接球的直径 $2R$。 由勾股定理可得体对角线平方公式为： $(2R{)}^2=x^2+x^2+h^2$ 将 $x^2=4$ 和 $h=4$ 代入上式中： $4R^2=4+4+4^2=4+4+16=24$ 从而直接求得： $R^2=6$

根据球的表面积计算公式： $S=4\pi R^2$ 将 $R^2=6$ 代入可得： $S=4\pi \times 6=24\pi$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：直棱柱外接球半径与体对角线长（$2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$）的对应模型、球表面积公式。
• 核心方法：体对角线对换法。
• 避坑指南：计算中可以直接利用 $4R^2=24$。因为球的表面积公式中包含 $4R^2$（即 $S=\pi \cdot (4R^2)$），所以无需单独开方求出 $R=\sqrt{6}$ 再去平方，能有效避免多步开方带来的计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是立体几何中关于“多面体与旋转体切接问题”的外接球经典构型，主要考查空间想象力与基本体积、面积公式的综合运用。 结论推广: 对于任意长方体或正四棱柱，其外接球的表面积恒满足 $S=\pi (a^2+b^2+c^2)$，其中 $a,b,c$ 为其三条交于同顶点的棱长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁文-11 单-球的表面积
• 2013-新课标Ⅰ理-06 单-球的体积与表面积
• 2020-天津卷-05 单-球表面积