2006-全国卷I理-06 单-余弦定理解三角形

本题导读

本题将等比数列的性质与解三角形中的余弦定理融为一体，考查通过边长代数约束求三角形内角余弦值的能力。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，若 $a,b,c$ 成等比数列，且 $c=2a$，则 $\cos B=$()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{3}{4}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{4}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

利用等比数列的性质，由 $a,b,c$ 成等比数列列出方程 $b^2=ac$。 将已知条件 $c=2a$ 代入等比性质式中，将 $b^2$ 用关于 $a$ 的代数式单独表达。 运用余弦定理公式 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，将所有的边长 $b^2$ 和 $c$ 全部替换为包含 $a$ 的代数式，消去参数 $a$ 即可求出结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $△ABC$ 的三边 $a,b,c$ 成等比数列，根据等比中项的性质有： $b^2=ac\text{(1)}$

已知边长关系满足 $c=2a$，将其代入 ① 式中可得： $b^2=a\times (2a)=2a^2\text{(2)}$

根据余弦定理，角 $B$ 的余弦值公式为： $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

将 $c=2a$ 和 ② 式 $b^2=2a^2$ 整体代入到余弦公式中： $\cos B=\frac{a^2+(2a{)}^2-2a^2}{2\times a\times 2a}$ $\cos B=\frac{a^2+4a^2-2a^2}{4a^2}=\frac{3a^2}{4a^2}$

因为边长 $a>0$，所以 $a^2\ne 0$，约去分子与分母中的 $a^2$ 得： $\cos B=\frac{3}{4}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等比中项的定义式、余弦定理基本公式。
• 核心方法：参变分离消元法。
• 避坑指南：代入 $c=2a$ 时，注意分子的 $c^2=(2a{)}^2=4a^2$，极其容易粗心写成 $2a^2$ 从而计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是典型的跨章节小综合题，将数列的基本概念作为外壳嵌入到解三角形的常规计算中。 结论推广: 在 $△ABC$ 中，若三边 $a,b,c$ 成等比数列且公比为 $q$，则对应中角的余弦值恒满足 $\cos B=\frac{1+q^4-q^2}{2q^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-05 单-余弦定理求角
• 2012-陕西卷(理)-09 单-余弦定理
• 2015-广东卷文-05 单-余弦定理