2006-全国卷I理-03 单-双曲线的实轴与虚轴性质

本题导读

本题考查双曲线标准方程的结构识别以及实虚轴几何量的基本代数计算。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 双曲线 $m{x}^2+y^2=1$ 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 $m=$()

A. $-\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $-4$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

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明确双曲线方程中各项系数的正负特性，由于 $y^2$ 项系数为 $+1$，为保证方程代表双曲线，系数 $m$ 必须为负数。 将方程改写为标准形式 $\frac{y^2}{1}-\frac{x^2}{-\frac{1}{m}}=1$，确认焦点在 $y$ 轴上。 写出 $a^2$ 和 $b^2$，根据“虚轴长是实轴长的 2 倍”建立代数方程 $2b=2\times 2a⟹b=2a$，代入求出 $m$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：由于方程 $m{x}^2+y^2=1$ 表示双曲线，且 $y^2$ 项前面的系数为正数 $1$， 所以参数 $m$ 必须为负数，即 $m<0$。 将原方程化为标准双曲线方程形式： $\frac{y^2}{1}-\frac{x^2}{-\frac{1}{m}}=1$ 由此可知，该双曲线的焦点在 $y$ 轴上，且： $a^2=1⟹a=1$ $b^2=-\frac{1}{m}⟹b=\frac{1}{\sqrt{-m}}$

因为双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍，即 $2b=2\times (2a)⟹b=2a$。 将 $a=1$ 代入得： $b=2\times 1=2$ 从而： $b^2=4$

结合 $b^2=-\frac{1}{m}$ 建立方程： $-\frac{1}{m}=4⟹m=-\frac{1}{4}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：焦点在坐标轴上的双曲线标准方程转化、实轴长 $2a$ 与虚轴长 $2b$ 的几何涵义。
• 核心方法：标准方程对照消元法。
• 避坑指南：
• 易错点：直接忽略 $m$ 的正负号，误将 $a^2$ 或 $b^2$ 写成带有 $m$ 的正数形式导致计算错乱。
• 必须注意分母不能为负，当 $m<0$ 时， $-m>0$，所以 $x^2$ 下方的分母为 $-\frac{1}{m}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查解析几何中双曲线基本性质的经典变形小题，重在考查对隐式参数标准化的逻辑严密性。 结论推广: 对于方程 $A{x}^2+B{y}^2=1$ ($AB<0$) 形式的双曲线，其两轴长之比仅取决于 $|A|$ 与 $|B|$ 的比例关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-04 单-双曲线几何性质
• 2007-江苏卷-03 单-双曲线渐近线离心率
• 2007-浙江卷理-09 单-双曲线离心率