2006-全国卷I文-19 解-药物对比试验概率

本题导读

本题考查相互独立事件。核心在于独立重复试验与对立事件。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） $A,B$ 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由 $4$ 只小白鼠组成，其中 $2$ 只服用 $A$，另 $2$ 只服用 $B$，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用 $A$ 有效的小白鼠的只数比服用 $B$ 有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用 $A$ 有效的概率为 $\frac{2}{3}$，服用 $B$ 有效的概率为 $\frac{1}{2}$． （1）求一个试验组为甲类组的概率； （2）观察 $3$ 个试验组，求这 $3$ 个试验组中至少有一个甲类组的概率．

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）设事件 $A_i$ 表示服用 $A$ 有效 $i$ 只、$B_i$ 表示服用 $B$ 有效 $i$ 只。 2. 甲类组 $=A_2{B}_0+A_2{B}_1+A_1{B}_0$，分别求概率相加。 3.（2）3 组独立，至少一个甲类组的概率用对立事件。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{4}{9}$

(2)$\frac{604}{729}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设事件 $A_i$ 表示“服用 $A$ 有效的小白鼠有 $i$ 只”，$B_i$ 表示“服用 $B$ 有效的有 $i$ 只”（$i=0,1,2$）． 各只小白鼠的疗效相互独立，故 $P(A_2)={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$，$P(A_1)={\mathrm{C}}_2^1\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{9}$； $P(B_0)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$，$P(B_1)={\mathrm{C}}_2^1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$． 甲类组即“$A$ 有效的只数多于 $B$”，分三类： $A_2{B}_0$、$A_2{B}_1$、$A_1{B}_0$，故 $P(\text{甲类组})=P(A_2{B}_0)+P(A_2{B}_1)+P(A_1{B}_0)=\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{4}+\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{2}+\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{4}=\frac{4}{9}$． （2）3 个试验组相互独立，设 $X$ 为其中甲类组的个数，则 $X\sim B\left(3,\frac{4}{9}\right)$， $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-{\left(1-\frac{4}{9}\right)}^3=1-{\left(\frac{5}{9}\right)}^3=1-\frac{125}{729}=\frac{604}{729}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：药物对比试验概率

核心方法：甲类组分 $A_2{B}_0+A_2{B}_1+A_1{B}_0$ 三类，概率和 $\frac{4}{9}$；$X\sim B(3,\frac{4}{9})$，$P(X\ge 1)=\frac{604}{729}$

避坑指南：甲类组是”$A$ 有效只数 $>$ $B$“，三类都要算全；至少一个甲类组用对立事件 $1-(\frac{5}{9}{)}^3$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于相互独立事件与二项分布，教材”事件的相互独立性”

结论推广: 一般化：$n$ 次独立重复试验中事件发生次数服从二项分布，$P(X=k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

方法推广: 分类讨论”甲类组”的构成，独立相乘、互斥相加；“至少一个”用对立事件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-20 解-化验方案概率
• 2009-大纲Ⅰ文-20 解-围棋连胜概率
• 2010-大纲Ⅰ文-19 解-稿件评审概率