2006-全国卷I文-18 解-三角化简配方法求最值

本题导读

本题考查三角函数的化简。核心在于辅助角公式与配方法求最值。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） $△ABC$ 的三个内角为 $A,B,C$，求当 $A$ 为何值时，$\cos A+2\cos \frac{B+C}{2}$ 取得最大值，并求出这个最大值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $A+B+C=\pi$，$\cos \frac{B+C}{2}=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}\right)=\sin \frac{A}{2}$。
2. 原式 $=\cos A+2\sin \frac{A}{2}=1-2{\sin }^2\frac{A}{2}+2\sin \frac{A}{2}$。
3. 配方求关于 $\sin \frac{A}{2}$ 的二次函数最大值。

✅【答案】

Success

当 $A=\frac{\pi }{3}$ 时，最大值 $\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $A+B+C=\pi$，得 $\frac{B+C}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}$，故 $\cos \frac{B+C}{2}=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}\right)=\sin \frac{A}{2}$． 于是 $\cos A+2\cos \frac{B+C}{2}=\cos A+2\sin \frac{A}{2}=1-2{\sin }^2\frac{A}{2}+2\sin \frac{A}{2}$． 令 $t=\sin \frac{A}{2}$（$0<t<1$），则原式 $=-2t^2+2t+1=-2{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}$． 当 $t=\frac{1}{2}$，即 $\sin \frac{A}{2}=\frac{1}{2}$、$A=\frac{\pi }{3}$ 时，取得最大值 $\frac{3}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角化简配方法求最值

核心方法：$\cos \frac{B+C}{2}=\sin \frac{A}{2}$，原式 $=1-2{\sin }^2\frac{A}{2}+2\sin \frac{A}{2}$，配方最大 $\frac{3}{2}$

避坑指南：$B+C=\pi -A$ 得 $\cos \frac{B+C}{2}=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}\right)=\sin \frac{A}{2}$；配方得 $t=\frac{1}{2}$ 即 $A=\frac{\pi }{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于三角恒等变换与二次函数最值，教材”三角恒等变换”综合题

结论推广: 一般化：$\cos A+2\cos \frac{B+C}{2}$ 用 $B+C=\pi -A$ 化为关于 $\sin \frac{A}{2}$ 的二次式配方

方法推广: 内角和条件 $A+B+C=\pi$ 是化简的关键，把 $\cos \frac{B+C}{2}$ 化成 $\sin \frac{A}{2}$ 再配方

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-04 单-正切和角公式
• 2008-大纲Ⅰ文-09 单-三角图象平移
• 2008-新课标Ⅰ文-11 单-三角函数值域