2006-全国卷I文-13 填-奇函数求参数

本题导读

本题考查奇函数的性质，以及函数值的计算。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 已知函数 $f(x)=a-\frac{1}{2^x+1}$，若 $f(x)$ 为奇函数，则 $a=$　　　　

🔍【思路分析】

破题导航

1. 奇函数定义域含 $0$，故 $f(0)=0$。
2. $f(0)=a-\frac{1}{2^0+1}=a-\frac{1}{2}$。
3. 令 $a-\frac{1}{2}=0$，得 $a=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

因 $f(x)$ 为奇函数且定义域为 $\mathbf{R}$（含 $0$），故 $f(0)=0$． $f(0)=a-\frac{1}{2^0+1}=a-\frac{1}{2}=0$，解得 $a=\frac{1}{2}$． （验证：$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^x+1}$，$f(-x)+f(x)=0$ 成立．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数求参数

核心方法：奇函数 $f(0)=0$，$f(0)=a-\frac{1}{2}=0$，$a=\frac{1}{2}$

避坑指南：奇函数在 $0$ 有定义则 $f(0)=0$；代入 $2^0=1$，$\frac{1}{2^0+1}=\frac{1}{2}$ 别算错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于奇函数的性质，教材”函数的奇偶性”

结论推广: 一般化：奇函数若在 $x=0$ 有定义，则 $f(0)=0$，可据此求参数

方法推广: 奇函数先看 $f(0)=0$ 快速定参数，再验证 $f(-x)=-f(x)$ 充分性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-06 单-三角奇偶周期
• 2009-大纲Ⅰ文-01 单-诱导公式求值
• 2008-新课标Ⅰ文-02 单-双曲线焦距