2006-全国卷I文-12 单-木棒围三角形最大面积

本题导读

本题考查三角形的面积，以及最值问题。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 用长度分别为 $2,3,4,5,6$（单位：cm）的 $5$ 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为()

A. $8\sqrt{5}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$　　　　B. $6\sqrt{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$　　　　C. $3\sqrt{55}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$　　　　D. $20\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 五根木棒总长 $20$，可连接成三边（每边由若干根拼成）。
2. 三边须满足三角形三边关系，且各边为 $\{2,3,4,5,6\}$ 的子集之和。
3. 周长固定时面积最大接近等边，枚举可行三边取最大。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

五根木棒总长为 $2+3+4+5+6=20$，围成的三角形周长定为 $20$． 将五根木棒适当连接成三边，需满足任意两边之和大于第三边，且各边长为若干根木棒长度之和． 周长一定时，三边越接近等边面积越大．经枚举，三边取 $6$、$7$、$7$（如 $6$；$2+5=7$；$3+4=7$）时， 由海伦公式，半周长 $p=10$，面积 $S=\sqrt{10\times (10-6)\times (10-7)\times (10-7)}=\sqrt{10\times 4\times 3\times 3}=6\sqrt{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$． 其余分割（如 $4,8,8$ 等）面积均小于此值，故最大面积为 $6\sqrt{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：木棒围三角形最大面积

核心方法：总长 $20$，三边凑 $6,7,7$ 接近等边，海伦公式面积 $6\sqrt{10}$

避坑指南：周长固定时越接近等边面积越大；三边须满足三角形三边关系，$6,7,7$ 合法且面积最大，别漏枚举

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于三角形面积与最值，是一道经典的组合几何题

结论推广: 一般化：周长一定的三角形中，等边三角形面积最大（可用海伦公式或均值不等式证明）

方法推广: 把多根木棒拼成三边，先满足三边关系，再让三边尽量接近等边，枚举比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅰ文-12 单-球内四面体体积
• 2009-大纲Ⅰ文-12 单-椭圆准线向量
• 2008-新课标Ⅰ文-12 单-空间线面位置关系