2006-全国卷I文-11 单-抛物线上点到直线距离

本题导读

本题考查抛物线的参数形式，以及点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 抛物线 $y=-x^2$ 上的点到直线 $4x+3y-8=0$ 距离的最小值是()

A. $\frac{4}{3}$　　　　　　　B. $\frac{7}{5}$　　　　　　　C. $\frac{8}{5}$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设抛物线上点 $P(x,-x^2)$。
2. 到直线 $4x+3y-8=0$ 的距离 $d=\frac{|4x+3(-x^2)-8|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|4x-3x^2-8|}{5}$。
3. 配方求 $|3x^2-4x+8|$ 的最小值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设抛物线上点 $P(x,-x^2)$，则 $P$ 到直线 $4x+3y-8=0$ 的距离为 $d=\frac{|4x+3(-x^2)-8|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|4x-3x^2-8|}{5}=\frac{|3x^2-4x+8|}{5}$． 因 $3x^2-4x+8=3{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{20}{3}\ge \frac{20}{3}$， 故 $d\ge \frac{20/3}{5}=\frac{4}{3}$，当 $x=\frac{2}{3}$ 时取等号． 故距离的最小值为 $\frac{4}{3}$． 【注】答案册此题标注为 B（$\frac{7}{5}$），系排印错误；正确最小值为 $\frac{4}{3}$，历年试题汇编及人人文库、百度文库均作 $\frac{4}{3}$（选 A），故按 $\frac{4}{3}$ 录入． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线上点到直线距离

核心方法：点 $(x,-x^2)$ 到直线距离 $d=\frac{|3x^2-4x+8|}{5}$，配方最小 $\frac{20}{3}$，$d_{\min }=\frac{4}{3}$

避坑指南：距离公式分子是 $|4x+3y-8|$，把 $y=-x^2$ 代入后是 $|4x-3x^2-8|$；$3x^2-4x+8$ 恒正可直接去绝对值配方法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于抛物线与点到直线的距离，教材”抛物线”与”距离公式”的结合

结论推广: 一般化：曲线 $y=f(x)$ 上点到定直线的距离最值，设参用距离公式，配方求最值

方法推广: 设曲线上点（一个参数），代入距离公式化为单变量函数，配方或求导求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-11 单-二面角距离最值
• 2008-大纲Ⅰ文-04 单-切线倾斜角
• 2009-大纲Ⅰ文-16 填-平行线倾斜角