2006-全国卷I文-04 单-双曲线实轴虚轴求参

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及实轴与虚轴。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 双曲线 $m{x}^2+y^2=1$ 的虚轴长是实轴长的 $2$ 倍，则 $m=$()

A. $-\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $-4$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $m{x}^2+y^2=1$，当 $m<0$ 时是焦点在 $y$ 轴的双曲线，化为 $\frac{y^2}{1}-\frac{x^2}{-1/m}=1$。
2. 实轴在 $y$ 轴，$a^2=1$，$a=1$；虚轴 $b^2=-\frac{1}{m}$，$b=\frac{1}{\sqrt{-m}}$。
3. 虚轴长 $2b=2\times$ 实轴长 $2a=4$，即 $2b=4$，$b=2$，$-\frac{1}{m}=4$，$m=-\frac{1}{4}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

当 $m<0$ 时，$m{x}^2+y^2=1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线，化为标准式 $\frac{y^2}{1}-\frac{x^2}{-1/m}=1$． 实轴在 $y$ 轴，半实轴 $a=1$；半虚轴 $b=\frac{1}{\sqrt{-m}}$． 由虚轴长是实轴长的 2 倍，得 $2b=2\times (2a)=4$，即 $b=2$， 故 $\frac{1}{\sqrt{-m}}=2$，$-m=\frac{1}{4}$，解得 $m=-\frac{1}{4}$． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线实轴虚轴求参

核心方法：$m<0$ 时 $m{x}^2+y^2=1$ 是焦点在 $y$ 轴的双曲线，实轴 $a=1$、虚轴 $b=\frac{1}{\sqrt{-m}}$，$b=2$ 得 $m=-\frac{1}{4}$

避坑指南：先判断双曲线的开口方向（$m<0$ 才成立）；虚轴长是实轴长 2 倍即 $b=2a$，别把 $m$ 与 $-\frac{1}{m}$ 搞混

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于双曲线的标准方程与实轴、虚轴，教材”双曲线”基础题

结论推广: 一般化：$m{x}^2+n{y}^2=1$ 中 $m,n$ 异号时为双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上

方法推广: 先配方化为标准式，确定实轴、虚轴所在轴，再读半轴长 $a,b$ 求参数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2008-大纲Ⅰ文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2009-陕西卷文-22 解-双曲线定比面积