2006-上海卷理-17 解-正弦型复合函数的值域与周期

本题导读

本题考查三角恒等变换与正弦型复合函数的性质。核心在于利用两角和差公式展开或利用积化和差公式化简前项乘积，再通过辅助角公式将其合并为标准的单一正弦型函数形式，从而求解值域与最小正周期。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 求函数 $y=2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{3}\sin 2x$ 的值域和最小正周期.

🔍【思路分析】

破题导航

乘积项化简：前项 $2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 可以选用两种高效路径化简：

• 路径一：利用积化和差公式 $2\cos \alpha \cos \beta =\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )$，化为 $\cos 2x+\cos \frac{\pi }{2}$。
• 路径二：利用两角和差公式将 $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 和 $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 分别展开后利用平方差公式合并。 两项合并：将化简后的 $\cos 2x$ 与后面的 $\sqrt{3}\sin 2x$ 组合，应用辅助角公式合成标准正弦型复合函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )+k$。 性质求解：
• 利用正弦函数的有界性 $[-1,1]$ 扩大 $A$ 倍后求出值域。
• 利用周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 计算最小正周期。

✅【答案】

Success

值域为[−2,2]，最小正周期为π.

✍【详细解析】

Abstract

解：利用三角函数的积化和差公式 $2\cos \alpha \cos \beta =\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )$ 对函数的第一项进行恒等变形： $2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left[\left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right]+\cos \left[\left(x+\frac{\pi }{4}\right)-\left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right]$ $=\cos 2x+\cos \frac{\pi }{2}$ 因为 $\cos \frac{\pi }{2}=0$，所以前项乘积式可精简为： $2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos 2x$

将此变形结果代回原函数解析式中： $y=\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x$

调整两项的先后次序，并应用辅助角公式进行逆向合成（提取系数 $\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=2$）： $y=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)$ $y=2\left(\sin 2x\cos \frac{\pi }{6}+\cos 2x\sin \frac{\pi }{6}\right)$ 根据两角和的正弦公式 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ 融合成标准正弦型复合函数： $y=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$

• 求解值域： 因为自变量 $x\in \mathbf{R}$，所以复合相位 $\left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\in \mathbf{R}$。 根据正弦函数的自然有界性定理， 恒有： $-1\le \sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\le 1$ 不等式两边同时乘以系数 2： $-2\le 2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\le 2⟹-2\le y\le 2$ 所以，该函数的值域为 $[-2,2]$。

• 求解最小正周期： 因为复合函数中自变量 $x$ 的系数为 $\omega =2$， 所以该函数的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：积化和差公式的应用（或和差展开公式）、辅助角公式合成标准正弦波、正弦型函数的有界值域域和周期计算。
• 核心方法：恒等变形合成法。
• 避坑指南：
• 第一步变形如果记不清积化和差公式，推荐采用常规展开法： $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)$， $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x)$。两式相乘得 $2\times \frac{1}{2}({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=\cos 2x$。虽然步数稍多，但胜在基础扎实，不易因记错公式符号而丢分。
• 最终写值域时，务必规范采用闭区间形式 $[-2,2]$ 进行作答。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查高一三角函数恒等变形及函数基本性质最为经典的标杆大题。重在考查对积化和差与辅助角合成这两套组合拳的连贯调用。 结论推广: 针对任何构型为 $y=2\cos (x+\theta )\cos (x-\theta )+k\sin 2x$ 的三角函数模型， 其第一步化简的结果恒满足统一代数式： $\cos 2x+\cos 2\theta +k\sin 2x$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-15 解-三角降幂与值域
• 2012-湖北卷文-18 解-三角函数对称轴与值域