2006-上海卷理-16 单-互斥事件与方程个数的计数

本题导读

本题是一道解析几何新定义创新题。核心在于将新定义的“距离坐标 $(p,q)$”转化为平面几何中“到已知直线距离为定值的平行直线簇”的交点个数判定问题。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 如图，平面中两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 相交于点 $O$，对于平面上任意一点 $M$，若 $p,q$ 分别是 $M$ 到直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的距离，则称有序非负实数对 $(p,q)$ 是点 $M$ 的“距离坐标”. 已知常数 $p\ge 0,q\ge 0$，给出下列命题： ① 若 $p=q=0$，则“距离坐标”为 $(0,0)$ 的点有且仅有 1 个； ② 若 $pq=0$，且 $p+q\ne 0$，则“距离坐标”为 $(p,q)$ 的点有且仅有 2 个； ③ 若 $pq\ne 0$，则“距离坐标”为 $(p,q)$ 的点有且仅有 4 个. 上述命题中，正确命题的个数是() ()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

剖析新定义几何本质：

• 到直线 $l_1$ 的距离为 $p$ 的点 $M$ 的轨迹：是两条分布在 $l_1$ 两侧且平行于 $l_1$ 的直线（当 $p>0$ 时）；或者是 $l_1$ 自身（当 $p=0$ 时）。
• 同理，到直线 $l_2$ 的距离为 $q$ 的点 $M$ 的轨迹：是两条平行于 $l_2$ 的直线（当 $q>0$ 时）；或者是 $l_2$ 自身（当 $q=0$ 时）。
• “距离坐标”为 $(p,q)$ 的点，本质上就是这两组平行直线簇的公共交点。 逐一判定命题：
• 命题①： $p=0,q=0$，对应直线 $l_1$ 与 $l_2$ 自身的交点，有且仅有交点 $O$ 1个。
• 命题②： $pq=0⟹p=0$ 或 $q=0$。若 $p=0,q>0$，对应直线 $l_1$ 与“两条平行于 $l_2$ 且距离为 $q$ 的直线”的交点。由于 $l_1$ 与 $l_2$ 相交， $l_1$ 必然与这两条平行线各产生 1 个交点，共 2 个。
• 命题③： $p>0,q>0$，对应“两条平行于 $l_1$ 的直线”与“两条平行于 $l_2$ 的直线”相交。根据平面内不平行的两组平行线相交的网格特征，必定产生 $2\times 2=4$ 个交点。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：将点 $M$ 的“距离坐标 $(p,q)$”还原为经典的平面几何轨迹交点模型：

• 对命题①进行分析： 若 $p=q=0$，则点 $M$ 到直线 $l_1$ 的距离为 0（即 $M\subset l_1$），且到直线 $l_2$ 的距离也为 0（即 $M\subset l_2$）。 因此，点 $M$ 必须是两条相交直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的公共交点。 因为两条不重合的直线在平面内有且仅有一个交点 $O$，所以这样的点有且仅有 1 个（即原点 $O$）。 故命题①正确。

• 对命题②进行分析： 若 $pq=0$，且 $p+q\ne 0$，根据代数特征， 必有 $p,q$ 中一个为 0，另一个为非零正数。

• 不妨设 $p=0,q>0$： 点 $M$ 到直线 $l_1$ 的距离为 0 $⟹M\subset l_1$； 点 $M$ 到直线 $l_2$ 的距离为定值 $q>0$，满足此条件的点轨迹是两条分布在 $l_2$ 两侧且平行于 $l_2$ 的直线，记为 $l_{2a}$ 和 $l_{2b}$。 因为已知直线 $l_1$ 与 $l_2$ 相交，所以直线 $l_1$ 与任何平行于 $l_2$ 的直线也必然严格相交，且各产生 1 个交点。 因此，直线 $l_1$ 与直线 $l_{2a}$、 $l_{2b}$ 分别各有一个交点，共计 2 个公共点。 同理，若 $p>0,y=0$ 结果亦然。 所以这样的点有且仅有 2 个。 故命题②正确。

• 对命题③进行分析： 若 $pq\ne 0$，由于 $p\ge 0,q\ge 0$，说明 $p>0$ 且 $q>0$。

• 到直线 $l_1$ 距离为 $p$ 的点轨迹是两条平行于 $l_1$ 的直线，记为集合 $A=\{l_{1a},l_{1b}\}$；
• 到直线 $l_2$ 距离为 $q$ 的点轨迹是两条平行于 $l_2$ 的直线，记为集合 $B=\{l_{2a},l_{2b}\}$。 由于 $l_1$ 与 $l_2$ 倾斜斜率不同，集合 $A$ 中的任意一条直线与集合 $B$ 中的任意一条直线都会相交产生 1 个交点。 根据乘法原理， 2 条直线与 2 条直线交织组成的网格中，总交点个数为： $N=2\times 2=4\text{ 个}$ 即四个象限内各分布有 1 个符合距离要求的特征点。 所以这样的点有且仅有 4 个。 故命题③正确。

综上所述，①、②、③ 三个命题全部完全正确，正确命题的个数为 3。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：点到直线距离的几何轨迹平行线模型、平面内直线相交点数的组合计数。
• 核心方法：数形结合网格相交法。
• 避坑指南：
• 读题时一定要注意 $p,q$ 的非负限制（ $p\ge 0,q\ge 0$），新定义中的坐标不带正负号。
• 证明命题③时，头脑中应建立直观的“四街交叉口”图景， $l_1$ 两侧两条线与 $l_2$ 两侧两条线构成一个斜平行四边形框架，其 4 个顶点就是满足条件的 4 个解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查平面解析几何新定义坐标系建构的经典压轴选择题。 结论推广: 该新定义“距离坐标”在几何学中对应的是一种非正交的仿射距离标定。在晶体学及非直角网格空间定位（如斜方晶系坐标）中有广泛的应用原型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-北京文-08 单-正三角形新定义区域
• 2011-山东卷文-12 单-调和分割新定义