2006-上海卷理-12 填-函数全局最小值的求解

本题导读

本题是一道含有绝对值结构的跨章节函数与不等式综合压轴填空题。题目通过三位同学关于“恒成立”命题的对话作为切入点。核心在于采纳乙同学提出的“参变分离法”，通过对自变量进行分段去掉绝对值，利用导数求出左侧复合函数在闭区间 $[1,12]$ 上的全局最小值，从而求出参数 $a$ 的最大上界范围。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 三个同学对问题“关于 $x$ 的不等式 $x^2+25+|x^3-5x^2|\ge ax$ 在 $[1,12]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说：“把不等式变形为左边含变量 $x$ 的函数，右边仅含常数，求函数的最小值”. 丙说：“把不等式两边看成关于 $x$ 的函数，作出函数图象”. 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

评判并选择最优路径：

• 甲说“左边最小 $\ge$ 右边最大”，由于右边 $ax$ 含有参数，其最大值无法在未定 $a$ 正负时单值确定，此路不通。
• 丙说“作图象”，由于包含 3 次绝对值与含参直线，极难肉眼识别精确切点，此路运算量极大。
• 乙说“参变分离法”最科学。由于自变量 $x\in [1,12]⟹x>0$。不等式两边可以安全地同时除以 $x$，将参数 $a$ 孤立出来： $a\le \frac{x^2+25+|x^3-5x^2|}{x}$。 构建分离后函数并去绝对值：设 $g(x)=x+\frac{25}{x}+|x^2-5x|$。要使 $a\le g(x)$ 恒成立，根据恒等式法则，只需满足 $a\le g(x{)}_{\text{min}}$。 分段求极小值：由于绝对值内部 $x^2-5x=x(x-5)$ 的零点为 $x=5$。在区间 $[1,12]$ 上进行分段：
• 当 $1\le x<5$ 时， $x^2-5x<0$，绝对值去掉变号： $g(x)=x+\frac{25}{x}-x^2+5x=-x^2+6x+\frac{25}{x}$。
• 当 $5\le x\le 12$ 时， $x^2-5x\ge 0$，直接去掉绝对值： $g(x)=x+\frac{25}{x}+x^2-5x=x^2-4x+\frac{25}{x}$。 利用导数锁定全局最小值：对两个区间的函数分别求导，寻找其各自的极值点与端点值，两段对比提取出整个闭区间上的绝对最小值，将其作为 $a$ 的最高封顶临界值。

✅【答案】

Success

$(-\infty ,10]$

✍【详细解析】

Abstract

解：由于自变量 $x$ 的给定区间为 $[1,12]$，在此区间内显然有 $x\ge 1>0$。 我们可以采纳乙同学提出的“参变分离法”，在不等式两边同时除以正数 $x$，将参数 $a$ 独立移至一侧： $a\le \frac{x^2+25+|x^3-5x^2|}{x}=x+\frac{25}{x}+\left|\frac{x^3-5x^2}{x}\right|=x+\frac{25}{x}+|x^2-5x|$

要使该不等式在 $x\in [1,12]$ 上恒成立，根据不等式下界约束原理， 参数 $a$ 必须小于或等于右侧新构建函数在全区间上的全局最小值。 设新函数为： $g(x)=x+\frac{25}{x}+|x^2-5x|,x\in [1,12]$ 只需求解 $g(x{)}_{\text{min}}$，则 $a$ 的取值范围即为 $(-\infty ,g(x{)}_{\text{min}}]$。

考虑到绝对值内部多项式 $x^2-5x=x(x-5)$，其正负临界零点为 $x=5$。 在闭区间 $[1,12]$ 上对函数 $g(x)$ 进行以下分段拆分讨论：

• 第一分段：当 $1\le x<5$ 时 此时 $x(x-5)<0$，去掉绝对值需要符号颠倒： $g(x)=x+\frac{25}{x}-(x^2-5x)=-x^2+6x+\frac{25}{x}$ 对该分段函数求导： $g^{\prime }(x)=-2x+6-\frac{25}{x^2}=\frac{-2x^3+6x^2-25}{x^2}$ 由于当 $1\le x<5$ 时，我们通过代入端点分析其导数正负：

• 当 $x=1$ 时， $g^{\prime }(1)=-2+6-25=-21<0$；

• 当 $x=2$ 时， $g^{\prime }(2)=-4+6-\frac{25}{4}=2-6.25=-4.25<0$；

• 当 $x=3$ 时， $g^{\prime }(3)=-6+6-\frac{25}{9}=-\frac{25}{9}<0$。 可以证明在该段内，分子 $-2x^3+6x^2-25=-2x^2(x-3)-25$，由于当 $1\le x<3$ 时 $-2x^2(x-3)$ 项由负变正但难过 25 阈值，而在 $3\le x<5$ 时 $x-3\ge 0⟹-2x^2(x-3)\le 0$。 综上可知，在整个第一分段 $1\le x<5$ 上，导数恒满足： $g^{\prime }(x)<0$ 因此，函数 $g(x)$ 在区间 $[1,5)$ 上表现为单调递减。

• 第二分段：当 $5\le x\le 12$ 时 此时 $x(x-5)\ge 0流通$，直接去掉绝对值符号： $g(x)=x+\frac{25}{x}+(x^2-5x)=x^2-4x+\frac{25}{x}$ 对该分段函数求导： $g^{\prime }(x)=2x-4-\frac{25}{x^2}=\frac{2x^3-4x^2-25}{x^2}$ 令导数分子为零方程 $h(x)=2x^3-4x^2-25=0$。 易知 $h(x)$ 在 $[5,12]$ 上单调递增：

• 当 $x=5$ 时， $h(5)=2\times 125-4\times 25-25=250-100-25=125>0$。 由于在起点 $x=5$ 处导数分子已大于 0，说明在整个第二分段 $5\le x\le 12$ 上，导数恒满足： $g^{\prime }(x)>0$ 因此，函数 $g(x)$ 在区间 $[5,12]$ 上表现为单调递增。

, showing a clear V-shape decreeing from 1 to 5, reaching a sharp minimum at x=5, and then increasing monotonically from 5 to 12]

综合上述两段的单调性特征： 函数 $g(x)$ 在 $[1,5)$ 上单调递减，在 $[5,12]$ 上单调递增。 由此可知， 抛物绝对值复合函数 $g(x)$ 在两段的交界拐点 $x=5$ 处取得整个闭区间 $[1,12]$ 上的唯一全局极小值，即绝对最小值。

将 $x=5$ 代入原函数解析式中求出其最小值： $g(x{)}_{\text{min}}=g(5)=5+\frac{25}{5}+|5^2-5\times 5|=5+5+0=10$

要使不等式恒成立，参数 $a$ 必须满足： $a\le g(x{)}_{\text{min}}⟹a\le 10$

所以，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,10]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：不等式恒成立向最值问题的转换、参变分离法、含参数绝对值的分段导数单调性排查。
• 核心方法：参变分离最值法。
• 避坑指南：
• 第一步选择思路至关重要。如果按照甲同学的做法（左边最小 $\ge$ 右边最大），会因为右边直线 $ax$ 的最大值极度依赖参数 $a$ 的正负和大小而使分类讨论陷入极度混乱。看到“$f(x)\ge ax$”且定义域在正数区间，第一本能恒为优先选择除以 $x$ 进行参变分离。
• 分段去掉绝对值后对两段多项式求导时，要心细计算导数分子的正负。通过端点值 $h(5)=125>0$ 判定出第二段全递增，是锁定 $x=5$ 为唯一谷底的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查高三导数与不等式恒成立交汇的顶级压轴填空题。题目创新性地通过“三人对话录”的形式把逻辑路径的选择权交由考生，深度考查了解题宏观策略的架构能力。 结论推广: 针对所有形式为 $x^2+k^2+|x^3-k{x}^2|\ge ax$ 对应正数区间恒成立的模型， 其参变分离后的分项函数 $g(x)=x+\frac{k^2}{x}+|x^2-kx|$，在绝对值零界点 $x=k$ 处，其绝对值部分恰好为 0，而此时剩余项 $x+\frac{k^2}{x}$ 恰好触发均值不等式临界点，因此零界交线点 $x=k$ 恒为该类复合函数的全局绝对最小值点。利用此规律，本题可以直接口算： $x=5⟹g(5)=5+\frac{25}{5}+0=10⟹a\le 10$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.18 恒成立问题——参变分离法

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-16 填-基本不等式求最值
• 2007-江苏卷-13 填-三次函数闭区间最值