2006-上海卷理-10 填-排列组合空间分类计数

本题导读

本题是一道新定义立体几何空间排列组合题。核心在于正确理解“正交线面对”的定义（即一条线垂直于一个平面），并在正方体构型中，对所有由顶点确定的直线和由 4 个顶点确定的平面进行无漏分类计数。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”. 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成“正交线面对”的个数是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

归纳所有合格平面：正方体中由 4 个顶点确定的平面一共有 2 类：

• 第一类：6 个正方形外侧面。
• 第二类：6 个对角面（如面 $A{A}_1{C}_{1}C$）。 针对平面配对垂直直线：
• 对于每个外侧面：垂直于它的棱有 4 条。由于由 2 个顶点确定的直线不仅包含棱，还包含其他平行于棱的线。对于一个侧面，垂直于它的两顶点连线只有 4 条棱。
• 对于每个对角面：寻找垂直于它的两顶点直线。根据正方体性质，面对角线垂直于对应的对角面。 累加计数：分别算出两类平面的“正交线面对”数进行求和。

✅【答案】

Success

$36$

✍【详细解析】

Abstract

解：在正方体中，由 4 个顶点确定的平面共有以下两类独立的几何形态：

• 第一类：正方体的 6 个外侧面 任取其中一个侧面（例如底面 $ABCD$）。 根据正方体的垂直性质，垂直于底面 $ABCD$ 且由两个顶点确定的直线只能是与其相交的 4 条侧棱： $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1,D{D}_1$。 其他任何顶点的连线（如体对角线、面对角线）均不可能与该外侧面垂直。 因此，每一个外侧面对应 4 条正交直线。 这类平面贡献的“正交线面对”数量为： $N_1=6\times 4=24\text{ 个}$

• 第二类：正方体的 6 个对角面 正方体一共有 6 个对角面（分别是：面 $A{A}_1{C}_{1}C$, 面 $B{B}_1{D}_{1}D$, 面 $A_1{B}_{1}CD$, 面 $A{B}_1{C}_{1}D$, 面 $A_{1}BC{D}_1$, 面 $AB{C}_1{D}_1$）。 任取其中一个对角面（例如面 $A{A}_1{C}_{1}C$）。 寻找由 2 个顶点确定且垂直于平面 $A{A}_1{C}_{1}C$ 的直线。 根据正方体线面垂直的性质，另一条面对角线 $BD$ 垂直于 $AC$，且 $BD\perp A{A}_1$，从而 $BD\perp$ 平面 $A{A}_1{C}_{1}C$。同理，上底面的对角线 $B_1{D}_1$ 亦垂直于平面 $A{A}_1{C}_{1}C$。 除了 $BD$ 和 $B_1{D}_1$ 这 2 条面对角线外，没有其他任何两个顶点的连线能垂直于该对角面。 因此，每一个对角面对应 2 条正交直线。 这类平面贡献的“正交线面对”数量为： $N_2=6\times 2=12\text{ 个}$

根据分类加法计数原理，正方体中满足新定义要求的“正交线面对”的总个数为： $N_{\text{总}}=N_1+N_2=24+12=36\text{ 个}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正方体外侧面与对角面的空间数量特征、线面垂直判定定理（面对角线垂直于对角面模型）、空间立体图象的分步分类计数。
• 核心方法：面分类配对法。
• 避坑指南：
• 极易在数外侧面对应直线时，误认为每个侧面对应的垂直线有很多条。注意题目限定直线必须“由两个顶点确定”，这就将符合要求的直线死死锁固在了棱或面对角线上。
• 极易漏掉 6 个对角面这一隐蔽空间构型，必须树立完备的立体几何分层视图习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查立体几何中特殊多面体空间位置关系非常经典的新定义创新小题。通过生动的名词外壳考查对线面垂直空间结构的无漏掌控。 结论推广: 在正方体中， 任意一条面对角线 $L$ 垂直且仅垂直于 1 个对角面；任意一条侧棱垂直且仅垂直于 2 个外侧面。从“线对准面”的反向视角来看： $12\times 2(\text{棱})+12\times 1(\text{面对角线})=24+12=36$。利用此“线控面”的反向视角进行计数可作为极其完美的考场交叉双向检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2007-广东卷理-12 填-空间异面直线计数模型
• 2008-重庆文-16 填-三棱台染色计数