2006-上海卷理-08 填-三角形面积公式的极坐标形式

本题导读

本题考查极坐标系下三角形面积的计算。核心在于正确理解极坐标 $(k,\theta )$ 的几何意义，通过两点的极角求出夹角，再套用三角形的面积公式 $S=\frac{1}{2}{\rho }_1{\rho }_2\sin \Delta \theta$ 快捷求解。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 在极坐标系中， $O$ 是极点，设点 $A\left(4,\frac{\pi }{3}\right)$， $B\left(5,-\frac{5\pi }{6}\right)$，则 $△OAB$ 的面积是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

提取极径信息：由极坐标定义，点 $A\left(4,\frac{\pi }{3}\right)⟹OA={\rho }_1=4$；点 $B\left(5,-\frac{5\pi }{6}\right)⟹OB={\rho }_2=5$。 计算夹角 $\angle AOB$：两点对应的极角分别为 ${\theta }_1=\frac{\pi }{3}$， ${\theta }_2=-\frac{5\pi }{6}$。两射线在极点处夹角为 $\Delta \theta =|{\theta }_1-{\theta }_2|=\left|\frac{\pi }{3}-\left(-\frac{5\pi }{6}\right)\right|$。 套用面积公式：利用三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}OA\cdot OB\cdot \sin \angle AOB$ 求出结果。

✅【答案】

Success

$5$

✍【详细解析】

Abstract

解：根据极坐标系中点的坐标定义， 坐标 $(\rho ,\theta )$ 分别表示点到极点的距离（极径）以及对应的倾斜角（极角）。 由此可直接提取出：

• 线段 $OA$ 的长度为： ${\rho }_1=4$

• 线段 $OB$ 的长度为： ${\rho }_2=5$

计算这两条射线 $OA$ 与 $OB$ 之间的夹角 $\angle AOB$ 的大小： $\angle AOB=|{\theta }_1-{\theta }_2|=\left|\frac{\pi }{3}-\left(-\frac{5\pi }{6}\right)\right|=\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{6}=\frac{2\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$

由于三角形的内角应该在 $[0,\pi ]$ 范围内，从几何图形上看，其夹角的锐角/单侧弧度通常通过取周角 $2\pi$ 互补或直接对正弦函数求值： $\sin \angle AOB=\sin \frac{7\pi }{6}=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{6}\right)=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$ 在面积公式中，我们取夹角正弦的绝对值（或直接看作非负几何角 $\left|2\pi -\frac{7\pi }{6}\right|=\frac{5\pi }{6}$，此时 $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$）。

套用三角形面积计算公式： $S_{△OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin \angle AOB$ $S_{△OAB}=\frac{1}{2}\times 4\times 5\times \frac{1}{2}=10\times \frac{1}{2}=5$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极径与极角的几何概念、极坐标系下两射线夹角正弦值的求法。
• 核心方法：极坐标代数公式法。
• 避坑指南：
• 计算夹角时注意负号， $\frac{\pi }{3}-(-\frac{5\pi }{6})=\frac{7\pi }{6}$。
• 在计算面积时，正弦值项取绝对几何角对应的正数 $\frac{1}{2}$，面积属于几何量，恒为正数，切勿带入负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查极坐标系几何工具性应用最经典的常规基础题。相比于化为直角坐标系后再算面积，直接在极坐标下用夹角正弦求面积具有极其巨大的速度优势。 结论推广: 在极坐标系下， 以极点 $O$ 为其中一个顶点的三角形面积通式恒满足： $S=\frac{1}{2}{\rho }_1{\rho }_2|\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.06 到角公式与夹角公式
• 11.04 三角形面积公式
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-10 填-极坐标
• 2012-上海卷(理)-10 填-极坐标方程