2006-上海卷理-07 填-椭圆的几何常数关系

本题导读

本题考查椭圆标准方程的求解。核心在于根据焦点坐标确定椭圆的类型（焦点在 $x$ 轴上）及焦距，再利用长短轴的代数倍数关系联立求解常数。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 已知椭圆中心在原点，一个焦点为 $F(-2\sqrt{3},0)$，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

判定椭圆类型与焦距：由已知焦点 $F(-2\sqrt{3},0)$ 的坐标形式（纵坐标为 0），可知椭圆的焦点严格分布在 $x$ 轴上，标准方程形式为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)。且半焦距为 $c=2\sqrt{3}$。 利用轴长倍数关系：长轴长为 $2a$，短轴长为 $2b$。由题意 $2a=2\times 2b⟹a=2b$。 几何常数联立求解：利用椭圆基本几何常数恒等式 $a^2=b^2+c^2$，将 $a=2b,c=2\sqrt{3}$ 代入，求出 $a^2,b^2$ 完成方程构建。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

✍【详细解析】

Abstract

解：因为椭圆的一个焦点坐标为 $F(-2\sqrt{3},0)$，其在 $x$ 轴上， 所以可设该椭圆的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 且直接得到半焦距： $c=2\sqrt{3}⟹c^2=(2\sqrt{3}{)}^2=12$

根据题意，“长轴长是短轴长的 2 倍”，写出代数对应关系： $2a=2\times (2b)⟹a=2b⟹a^2=4b^2$

利用椭圆中参数平方的核心几何恒等式 $a^2=b^2+c^2$，将上面两项结果代入： $4b^2=b^2+12$ 移项化简得： $3b^2=12⟹b^2=4$ 进而求得： $a^2=4b^2=4\times 4=16$

将 $a^2=16,b^2=4$ 代回预设的标准方程中： $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：焦点坐标确定圆锥曲线轴向、长短轴几何特征（长轴 $2a$、短轴 $2b$）、椭圆特征恒等式 $a^2=b^2+c^2$。
• 核心方法：几何常数方程组法。
• 避坑指南：
• 极其容易把长轴长、短轴长误记为 $a$ 和 $b$，虽然本题比例关系 $a=2b$ 相同，但在其他非比例加减大题中极易因此丢分。
• 椭圆中大边是 $a$，满足 $a^2=b^2+c^2$，切勿与双曲线中的 $c^2=a^2+b^2$ 发生公式性混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查椭圆标准方程建立最常规的几何常数运算小题，重在考查对核心常数定义的掌握。 结论推广: 针对任何长轴长是短轴长 $k$ 倍的椭圆模型， 其离心率 $e$ 恒为一个与具体大小无关的固定常量值： $e=\frac{\sqrt{k^2-1}}{k}$。本题中 $k=2$，离心率必为 $\frac{\sqrt{4-1}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-12 填-椭圆离心率
• 2009-上海卷理-09 填-椭圆