2006-上海卷理-06 填-象限角的三角函数值符号

本题导读

本题考查三角函数的诱导公式与同角三角函数关系。核心在于利用诱导公式对目标结构进行降维切角，并根据第四象限符号特征确定正弦值。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 如果 $\cos \alpha =\frac{1}{5}$，且 $\alpha$ 是第四象限的角，那么 $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

应用诱导公式：利用诱导公式 $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \alpha$，将目标求解式转化为求 $-\sin \alpha$ 的值。 求解正弦值：由同角三角函数平方和关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，求出 $|\sin \alpha |$。 判定正负号：已知 $\alpha$ 在第四象限，在第四象限内正弦值 $\sin \alpha$ 为负，从而确定 $\sin \alpha$ 的符号并求出最终值。

✅【答案】

Success

$\frac{2\sqrt{6}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先应用三角函数的诱导公式（“奇变偶不变，符号看象限”），对目标式进行化简： $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \alpha$

因为已知条件给定 $\cos \alpha =\frac{1}{5}$，根据同角三角函数的基本平方关系： ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}$ 两边开平方得： $|\sin \alpha |=\frac{\sqrt{24}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$

因为已知条件明确限定 $\alpha$ 是第四象限的角，根据三角函数在各象限的符号规律，第四象限内正弦值 strictly 为负（ $\sin \alpha <0$），故取： $\sin \alpha =-\frac{2\sqrt{6}}{5}$

将 $\sin \alpha$ 的结果代回最开始化简得到的诱导公式目标式中： $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \alpha =-\left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)=\frac{2\sqrt{6}}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数名互余转换诱导公式、象限内三角函数符号判定（一全正、二正弦、三正切、四余弦）。
• 核心方法：诱导公式先行法。
• 避坑指南：
• 极其容易发生二次负号混淆： $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)$ 转化为 $-\sin \alpha$ 带有一个负号，而第四象限本身的 $\sin \alpha$ 又是一个负数，负负得正，最终答案是正数。考场上一定要心细。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查三角恒等化简与象限控制最经典的常规基础填空题。 结论推广: 针对所有形如 $f(\alpha \pm \frac{\pi }{2})$ 的三角化简， 牢记“函数名必然变异（正余互换），最终前缀正负号仅由原函数名在对应象限的初始符号决定”这一铁律。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-浙江卷理-12 填-三角函数在不同象限符号判定
• 2017-北京卷理-12 填-诱导公式