2006-上海卷理-05 填-复数相等的充要条件

本题导读

本题考查复数的代数运算及共轭特征。核心在于设出复数的标准形式 $z=x+y\text{i}$，代入已知方程转化为实数方程组求解。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 若复数 $z$ 同时满足 $z-\bar{z}=2\text{i}$， $\bar{z}=\text{i}z$ ($\text{i}$ 为虚数单位)，则 $z=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

复数代数化：设 $z=x+y\text{i}$ ($x,y\in \mathbf{R}$)，则其共轭复数 $\bar{z}=x-y\text{i}$。 利用第一个方程：由 $z-\bar{z}=2\text{i}$，代入得 $(x+y\text{i})-(x-y\text{i})=2y\text{i}=2\text{i}$，从而直接求出虚部 $y$。 利用第二个方程：将求得的 $y$ 和 $z,\bar{z}$ 表达式代入 $\bar{z}=\text{i}z$，利用实部与虚部对应相等的关系，反解出实部 $x$。

✅【答案】

Success

$-1+\text{i}$

✍【详细解析】

Abstract

解：设复数 $z=x+y\text{i}$，其中 $x,y\in \mathbf{R}$。则其共轭复数为 $\bar{z}=x-y\text{i}$。

将代数式代入第一个条件方程 $z-\bar{z}=2\text{i}$ 中： $(x+y\text{i})-(x-y\text{i})=2\text{i}⟹2y\text{i}=2\text{i}$ 根据复数相等的充要条件（虚部对应相等）： $2y=2⟹y=1$ 由此确定复数的虚部为 1，即 $z=x+\text{i}$， $\bar{z}=x-\text{i}$。

将 $y=1$ 的化简结果代入第二个条件方程 $\bar{z}=\text{i}z$ 中： $x-\text{i}=\text{i}(x+\text{i})$ 展开右侧的复数乘法（注意 ${\text{i}}^2=-1$）： $x-\text{i}=x\text{i}+{\text{i}}^2⟹x-\text{i}=-1+x\text{i}$

根据复数相等的充要条件，两边实部与虚部必须分别对应相等，建立方程组： $\{\begin{array}{l}x=-1\\ -1=x\end{array}⟹x=-1$

综上所述，复数的实部 $x=-1$，虚部 $y=1$。 故复数 $z=-1+\text{i}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：共轭复数虚部变号特征、复数四则运算规律。
• 核心方法：待定系数法（设 $z=x+y\text{i}$）。
• 避坑指南：
• 展开 $\text{i}(x+\text{i})$ 时，切记 ${\text{i}}^2=-1$，不要粗心算成 $x\text{i}+1$，否则会破坏实部和虚部的对齐。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查复数定义最基础的待定系数填空题，旨在考查复数概念基本方程的规范反解。 结论推广: 复数方程求解的通用黄金法则恒为：将抽象复数符号 $z$ 拆解为一维实数对 $(x,y)$，从而实现“复数问题实数化”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2007-浙江卷理-11 填-共轭复数分母实数化
• 2015-上海卷理-02 填-共轭复数