2006-上海卷理-04 填-代数分式极限求法

本题导读

本题考查包含组合数结构的数列极限计算。核心在于正确应用组合数公式展开分子得到关于自变量 $n$ 的三次多项式，再通过提取最高次项系数求出极限值。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 计算 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\text{C}}_n^3}{n^3+1}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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展开分子组合数：利用组合数计算公式 ${\text{C}}_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}$，将分子展开为关于 $n$ 的三次单项多项式之和。 代入变形极限式：原极限变形为 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)}{n^3+1}$。 根据最高次幂求极限：当 $n\to \infty$ 时，分子与分母均为关于 $n$ 的 3 次多项式。其极限值直接等于分子与分母的最高次项（$n^3$ 项）的系数之比。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先利用组合数的通项展开公式对分子的 ${\text{C}}_n^3$ 进行多项式化简： ${\text{C}}_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{3\times 2\times 1}=\frac{n(n^2-3n+2)}{6}=\frac{1}{6}{n}^3-\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{3}n$

将上述多项式代回原极限式中： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\text{C}}_n^3}{n^3+1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{1}{6}{n}^3-\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{3}n}{n^3+1}$

分子和分母同时除以最高次项 $n^3$： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{1}{6}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}}{1+\frac{1}{n^3}}$

当 $n\to \infty$ 时， 所有分母含有 $n$ 的项趋近于 0（即 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$）： $\text{极限值}=\frac{\frac{1}{6}-0+0}{1+0}=\frac{1}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：组合数展开通式 ${\text{C}}_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$、同阶无穷大代数分式求极限的快捷法则。
• 核心方法：阶数系数比对法。
• 避坑指南：
• 展开 ${\text{C}}_n^3$ 时，分母是 $3!=3\times 2\times 1=6$，切勿粗心错写成 3。
• 牢记规律：当 $n\to \infty$ 时， 若分子分母次数相同，极限值为最高次项系数之比；若分子次数小于分母，极限为 0；若分子次数大于分母，极限不存在。本题次数均为 3，系数比即为 $\frac{1/6}{1}=\frac{1}{6}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是将排列组合中的计数符号与数学分析中数列极限融合的经典交叉小题，重在考查多项式项次拆分的基本功。 结论推广: 针对任何包含阶乘或固定组合数阶数的极限模型 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\text{C}}_n^m}{n^m+k}$，其对应的极限值恒为一个与常数 $k$ 无关的定值，即为： $\frac{1}{m!}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-01 填-无穷数列极限运算
• 2018-上海卷-10 填-等比数列极限