2006-上海卷理-03 填-反函数的几何特征与坐标映射

本题导读

本题考查指数函数及其反函数的图象关系。核心在于利用“原函数与反函数坐标对调”的映射本质，将反函数的已知点转化为原指数函数上的点来求解底数。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 若函数 $f(x)=a^x$ ($a>0$，且 $a\ne 1$) 的反函数的图象过点 $(2,-1)$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

反函数概念的几何转换：已知反函数的图象经过点 $(2,-1)$。根据反函数与原函数的关系 $f^{-1}(x_0)=y_0⟺f(y_0)=x_0$，可得原函数 $f(x)$ 必然经过点 $(-1,2)$。 代入求解底数：将点 $(-1,2)$ 代入原指数函数解析式 $f(x)=a^x$，解出关于 $a$ 的一次方程。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：因为函数 $f(x)=a^x$ 的反函数（即对数函数 $f^{-1}(x)={\log }_{a}x$）的图象经过点 $(2,-1)$。 根据原函数与反函数的坐标映射关系，若点 $(p,q)$ 在反函数图象上，则点 $(q,p)$ 必在原函数图象上。 因此，原指数函数 $f(x)=a^x$ 的图象必定经过点： $(-1,2)$

将点 $(-1,2)$ 对应的自变量 $x=-1$ 和函数值 $y=2$ 代入原函数解析式中： $2=a^{-1}$ 根据负整数指数幂的运算法则 $a^{-1}=\frac{1}{a}$： $2=\frac{1}{a}⟹a=\frac{1}{2}$

由于 $a=\frac{1}{2}$ 严格满足指数底数 $a>0$ 且 $a\ne 1$ 的定义域限制。 所以，底数 $a$ 的值为 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：原函数与反函数点坐标互逆特性、负整数指数幂的代数化简。
• 核心方法：反反对应坐标转换法。
• 避坑指南：
• 很多考生习惯于先求出反函数解析式 $y={\log }_{a}x$，再代入 $(2,-1)$ 得到 $-1={\log }_{a}2⟹a^{-1}=2$。虽然路径不同，但直接利用坐标对调性质（反函数过 $(2,-1)⟹$ 原函数过 $(-1,2)$）转换效率更高且最不容易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查反函数基本概念与指数基本幂次换算的最基础常规题型。 结论推广: 在函数体系中， 条件 $f^{-1}(p)=q$ 恒可无损且等价地转化为 $f(q)=p$ 进行去反函数符号化简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-04 填-反函数求解析式
• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数