2006-上海卷理-02 填-点到直线的距离公式

本题导读

本题考查圆的几何性质及点线距离的计算。核心在于通过配方法求出圆心坐标，再代入点到直线的距离公式完成规范求解。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 已知圆 $x^2-4x-4+y^2=0$ 的圆心是点 $P$，则点 $P$ 到直线 $x-y-1=0$ 的距离是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

求解圆心坐标：将圆的一般方程 $x^2+y^2-4x-4=0$ 通过对 $x$ 项配方，化为标准方程 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$，从而提取出圆心 $P(x_0,y_0)$ 的坐标。 计算点线距离：已知直线方程为 $x-y-1=0$，将圆心 $P$ 坐标直接套入点到直线的距离公式中求出值。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先对圆的一般方程进行配方化简，以确定圆心 $P$ 的具体坐标。 原方程为： $x^2-4x+y^2=4$ 对含有 $x$ 的多项式进行配方（两边同时加上 4）： $(x^2-4x+4)+y^2=4+4⟹(x-2{)}^2+y^2=8$ 由此提取出圆的标准特征：

• 圆心 $P$ 的坐标为： $(2,0)$
• 圆的半径为： $R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

题目要求计算圆心 $P(2,0)$ 到已知直线 $x-y-1=0$ 的距离 $d$。 已知直线的一般式系数为 $A=1,B=-1,C=-1$。 代入点到直线的距离公式： $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ $d=\frac{|1\times 2+(-1)\times 0-1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|2-0-1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：一元二次多项式完全平方配方法、圆心坐标的提取、标准点线距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 的应用。
• 核心方法：几何法（点线面距离转换）。
• 避坑指南：
• 提取圆心坐标时注意符号， $(x-2{)}^2⟹x_0=2$，防止粗心记反为 $(-2,0)$。
• 距离公式分母是 $\sqrt{A^2+B^2}$，本题对应 $\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$，最后分母有理化要做到准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查解析几何中圆的性质与基础线几何基本距离最经典的入门级填空题，旨在检验考生的常规基本功。 结论推广: 圆的一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的圆心坐标通式恒满足： $P\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$。利用此通式可略过配方步骤，直接一眼看出本题圆心为 $\left(-\frac{-4}{2},0\right)=(2,0)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2007-广东卷理-13 填-点到直线距离公式
• 2010-江苏卷-09 填-圆上点到直线距离