2006-上海卷理-01 填-集合元素的互异性

本题导读

本题考查集合的包含关系以及元素的互异性。核心在于通过 $B\subseteq A$ 建立参数 $m$ 的方程，并严格利用互异性对求得的解进行筛选。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 已知集合 $A=\{-1,3,2m-1\}$，集合 $B=\{3,m^2\}$，若 $B\subseteq A$，则实数 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

利用包含关系列式：由 $B\subseteq A$ 可知，集合 $B$ 中的所有元素都必须属于集合 $A$。元素 3 显然属于 $A$，因此必须满足 $m^2\in A$。 分类讨论：因为 $m^2\ne 3$（若 $m^2=3$，集合 $B$ 的两个元素均为 3，违反互异性），所以必有两种位置对应情况：

• 情况一： $m^2=-1$，此方程在实数范围内无解。
• 情况二： $m^2=2m-1$，通过解一元二次方程求出 $m$。 互异性检验：将求得的 $m$ 代回原集合，检验集合内部元素是否出现重复。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

解：因为集合 $B\subseteq A$，由包含关系的定义可知，集合 $B$ 中的每一个元素都必须是集合 $A$ 中的元素。 观察两集合的元素组成， 3 已经是 $A$ 中的元素，所以必须满足： $m^2\in \{-1,3,2m-1\}$

根据集合中元素的互异性，集合 $B$ 中的元素 3 与 $m^2$ 不能相等，即 $m^2\ne 3$。 因此，分以下两种情况讨论：

• 情况一： $m^2=-1$ 因为实数的平方恒为非负数，故在实数域内此方程无解。
• 情况二： $m^2=2m-1$ 移项整理得一元二次方程： $m^2-2m+1=0⟹(m-1{)}^2=0$ 解得： $m=1$

下面对 $m=1$ 进行集合互异性检验： 将 $m=1$ 代入原集合中：

• $A=\{-1,3,2\times 1-1\}=\{-1,3,1\}$，元素互不相同，符合题意。
• $B=\{3,1^2\}=\{3,1\}$，元素互不相同，符合题意。 此时显然满足 $B\subseteq A$。

综上所述，实数 $m$ 的值为 1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：子集关系的代数对应、集合的三要素（确定性、互异性、无序性）特别是互异性的判定。
• 核心方法：分类讨论法、元素检验法。
• 避坑指南：
• 必须牢记集合内部不能出现重复元素。在本题中，若方程解出多个根，必须一一代入原集合，防止出现诸如“$A$ 中包含两个 3”等不合规情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查集合基本关系与定义的开篇填空第一题，侧重考查概念理解的严密性。 结论推广: 设集合含有未知数，进行子集或相等运算时， 解出代数式后恒有“最终一步必检验”的铁律，以此剔除因违反互异性而产生的伪根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-重庆卷理-11 填-集合
• 2014-上海卷理-11 填-集合中元素的特性