2006-上海春-21 解-绝对值函数图象与位置

本题导读

（1）$f(x)$ 由 $y=x^2-4x-5$ 的 $x⩽-1$、$x⩾5$ 部分与 $[-1,5]$ 上的对称部分组成；（2）$A=(-\infty ,2-\sqrt{14}]\cup [0,4]\cup [2+\sqrt{14},+\infty )\supseteq B$；（3）$g(x)=k(x+3)-f(x)$ 配方后按顶点位置分类，$g(x)>0$ 恒成立。

📌【题干】

Question

设函数 $f(x)=|x^2-4x-5|$。 （1）在区间 $[-2,6]$ 上画出函数 $f(x)$ 的图象； （2）设集合 $A=\{x|f(x)⩾5\}$，$B=(-\infty ,-2]\cup [0,4]\cup [6,+\infty )$。试判断集合 $A$ 和 $B$ 之间的关系，并给出证明； （3）当 $k>2$ 时，求证：在区间 $[-1,5]$ 上，$y=k(x+3)$ 的图象位于函数 $f(x)$ 图象的上方。

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$y=x^2-4x-5=(x+1)(x-5)$，零点 $-1,5$，顶点 $(2,-9)$；将 $[-1,5]$ 上的部分翻折到 $x$ 轴上方即得 $f(x)$ 图象。
2. （2）解 $f(x)=5$：$x^2-4x-5=5$ 得 $x=2\pm \sqrt{14}$；$x^2-4x-5=-5$ 得 $x=0,4$。结合单调性写出 $A$，比较端点得 $B\subset A$。
3. （3）在 $[-1,5]$ 上 $f(x)=-x^2+4x+5$。作差 $g(x)=k(x+3)-f(x)=x^2+(k-4)x+(3k-5)$。
4. 配方 $g(x)={\left(x-\frac{4-k}{2}\right)}^2-\frac{k^2-20k+36}{4}$，由 $k>2$ 知顶点横坐标 $\frac{4-k}{2}<1$，按其在 $[-1,1)$ 内或小于 $-1$ 分类，证 $g(x)$ 的最小值大于 $0$。

✅【答案】

Success

（1）图象见解析；（2）$B\subset A$；（3）证明见解析。

✍【详细解析】

Abstract

（1）函数 $y=x^2-4x-5$ 的零点为 $-1$、$5$，顶点为 $(2,-9)$。 因此，在区间 $[-2,6]$ 上，函数 $f(x)=|x^2-4x-5|$ 的图象由抛物线 $y=x^2-4x-5$ 在 $x⩽-1$ 与 $x⩾5$ 的部分， 以及其在 $[-1,5]$ 上关于 $x$ 轴对称所得的曲线（顶点 $(2,9)$）组成。 （2）方程 $f(x)=5$ 的解分别是 $2-\sqrt{14}$，$0$，$4$，$2+\sqrt{14}$。 由于 $f(x)$ 在 $(-\infty ,-1]$ 和 $[2,5]$ 上单调递减，在 $[-1,2]$ 和 $[5,+\infty )$ 上单调递增， 所以 $A=(-\infty ,2-\sqrt{14}]\cup [0,4]\cup [2+\sqrt{14},+\infty )$。 又因为 $2+\sqrt{14}<6$，$2-\sqrt{14}>-2$，所以 $B\subset A$。 （3）【法一】当 $x\in [-1,5]$ 时，$f(x)=-(x^2-4x-5)=-x^2+4x+5$。 令 $g(x)=k(x+3)-f(x)=x^2+(k-4)x+(3k-5)={\left(x-\frac{4-k}{2}\right)}^2-\frac{k^2-20k+36}{4}$。 因为 $k>2$，所以 $\frac{4-k}{2}<1$。 ① 当 $-1⩽\frac{4-k}{2}<1$，即 $2<k⩽6$ 时，取 $x=\frac{4-k}{2}$， 则 $g(x{)}_{\min }=-\frac{k^2-20k+36}{4}=-\frac{1}{4}\left[(k-10{)}^2-64\right]$。 因为 $16⩽(k-10{)}^2<64$，所以 $g(x{)}_{\min }>0$。 ② 当 $\frac{4-k}{2}<-1$，即 $k>6$ 时，取 $x=-1$，则 $g(x{)}_{\min }=2k>0$。 由①②可知，当 $k>2$ 时，$g(x)>0$（$x\in [-1,5]$）。 因此，在区间 $[-1,5]$ 上，$y=k(x+3)$ 的图象位于函数 $f(x)$ 图象的上方。 【法二】当 $x\in [-1,5]$ 时，$f(x)=-x^2+4x+5$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=k(x+3),\\ y=-x^2+4x+5,\end{array}$ 得 $x^2+(k-4)x+(3k-5)=0$， 令 $\Delta =(k-4{)}^2-4(3k-5)=0$，解得 $k=2$ 或 $k=18$。 在区间 $[-1,5]$ 上，当 $k=2$ 时，$y=2(x+3)$ 的图象与函数 $f(x)$ 的图象只交于一点 $(1,8)$； 当 $k=18$ 时，$y=18(x+3)$ 的图象与函数 $f(x)$ 的图象没有交点。 如图可知，由于直线 $y=k(x+3)$ 过点 $(-3,0)$，当 $k>2$ 时， 直线 $y=k(x+3)$ 是由直线 $y=2(x+3)$ 绕点 $(-3,0)$ 逆时针方向旋转得到。 因此，在区间 $[-1,5]$ 上，$y=k(x+3)$ 的图象位于函数 $f(x)$ 图象的上方。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值函数图象与位置

核心方法：去绝对值分段作图与作差配方

避坑指南：$[-1,5]$ 上 $f(x)=-x^2+4x+5$；$g(x)=x^2+(k-4)x+(3k-5)$ 配方后按顶点位置分类，两情况最小值均正

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含绝对值函数的图象与证明

结论推广：分段去绝对值作图；证图象位置关系用作差配方法

方法推广：图象在上方等价于差函数恒正；二次差函数配方后按对称轴位置分类讨论最小值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2009-新课标Ⅰ文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2013-上海卷理-23 解-绝对值函数

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