2006-上海春-20 解-椭圆抛物线联立变轨

本题导读

（1）设 $y=a{x}^2+\frac{64}{7}$，过 $D(8,0)$ 得 $a=-\frac{1}{7}$；（2）联立椭圆与抛物线消去 $x$ 得 $4y^2-7y-36=0$，$y=4$，$x=6$，$C(6,4)$，$|AC|=2\sqrt{5}$，$|BC|=4$。

📌【题干】

Question

学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验。设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 $y$ 轴为对称轴、$M\left(0,\frac{64}{7}\right)$ 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 $D(8,0)$。观测点 $A(4,0)$、$B(6,0)$ 同时跟踪航天器。 （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）当航天器在 $x$ 轴上方时，观测点 $A$、$B$ 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）抛物线以 $y$ 轴为对称轴、顶点 $M\left(0,\frac{64}{7}\right)$，设 $y=a{x}^2+\frac{64}{7}$。
2. 过降落点 $D(8,0)$：$64a+\frac{64}{7}=0$，得 $a=-\frac{1}{7}$。
3. （2）变轨点是椭圆与抛物线的公共点，联立两方程消去 $x$。
4. 由 $x^2=100\left(1-\frac{y^2}{25}\right)$ 与 $x^2=64-7y$ 得 $4y^2-7y-36=0$，$y=4$ 或 $y=-\frac{9}{4}$。
5. 航天器在 $x$ 轴上方取 $y=4$，代回得 $x=\pm 6$，结合顺时针方向取 $x=6$，$C(6,4)$。
6. $|AC|=\sqrt{(6-4{)}^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$|BC|=\sqrt{(6-6{)}^2+4^2}=4$。

✅【答案】

Success

（1）$y=-\frac{1}{7}{x}^2+\frac{64}{7}$；（2）当观测点 $A$、$B$ 测得离航天器的距离分别为 $2\sqrt{5}$ 和 $4$ 时，应向航天器发出变轨指令。

✍【详细解析】

Abstract

（1）设曲线方程为 $y=a{x}^2+\frac{64}{7}$。 由题意知抛物线过点 $D(8,0)$，故 $0=64a+\frac{64}{7}$，解得 $a=-\frac{1}{7}$。 所以变轨后运行轨迹所在的曲线方程为 $y=-\frac{1}{7}{x}^2+\frac{64}{7}$。 （2）设变轨点为 $C(x,y)$。由题意可知 $\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1,\\ y=-\frac{1}{7}{x}^2+\frac{64}{7}.\end{array}$ 由第二个方程得 $x^2=64-7y$，代入第一个方程： $\frac{64-7y}{100}+\frac{y^2}{25}=1$，整理得 $4y^2-7y-36=0$， 故 $y=4$ 或 $y=-\frac{9}{4}$。 因为航天器在 $x$ 轴上方，所以 $y=4$。 代回得 $x^2=64-28=36$，$x=6$ 或 $x=-6$。结合图形（顺时针运行）取 $x=6$，故 $C(6,4)$。 于是 $|AC|=\sqrt{(6-4{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$， $|BC|=\sqrt{(6-6{)}^2+(4-0{)}^2}=4$。 答：当观测点 $A$、$B$ 测得离航天器的距离分别为 $2\sqrt{5}$ 和 $4$ 时，应向航天器发出变轨指令。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆抛物线联立变轨

核心方法：待定系数与联立消元

避坑指南：顶点定截距 $\frac{64}{7}$，过 $D(8,0)$ 定 $a=-\frac{1}{7}$；联立消 $x$ 得 $4y^2-7y-36=0$，取 $C(6,4)$，别忘按运行方向取 $x=6$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线实际应用

结论推广：顶点+一点定抛物线，联立两曲线消元求交点（变轨点）

方法推广：应用题中交点取舍要结合实际情境（运行方向、 $x$ 轴上方等）筛选

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-18 解-椭圆与抛物线轨迹
• 2008-浙江文-22 解-抛物线轨迹定直线

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