2006-上海春-17 解-长方体异面直线角

本题导读

$A_{1}D\parallel B_{1}C$，所成角即 $\angle B{A}_{1}D$；$A_{1}B=A_{1}D=5$，$BD=4\sqrt{2}$，余弦定理得 $\cos \angle B{A}_{1}D=\frac{9}{25}$。

📌【题干】

Question

在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，已知 $DA=DC=4$，$D{D}_1=3$，求异面直线 $A_{1}B$ 与 $B_{1}C$ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平移：$A_{1}D\parallel B_{1}C$，故异面直线 $A_{1}B$ 与 $B_{1}C$ 所成角即 $\angle B{A}_{1}D$（或其补角）。
2. 计算 $△A_{1}DB$ 三边：$A_{1}B=\sqrt{4^2+4^2+3^2}=5$，$A_{1}D=5$，$BD=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
3. 余弦定理：$\cos \angle B{A}_{1}D=\frac{A_1{B}^2+A_1{D}^2-B{D}^2}{2\cdot A_{1}B\cdot A_{1}D}=\frac{25+25-32}{50}=\frac{9}{25}$。
4. 所成角为 $\arccos \frac{9}{25}$。

✅【答案】

Success

异面直线 $A_{1}B$ 与 $B_{1}C$ 所成角的大小为 $\arccos \frac{9}{25}$。

✍【详细解析】

Abstract

【法一】连接 $A_{1}D$。因为 $A_{1}D\parallel B_{1}C$， 所以 $\angle B{A}_{1}D$ 为异面直线 $A_{1}B$ 与 $B_{1}C$ 所成的角。 连接 $BD$。在 $△A_{1}DB$ 中， $A_{1}B=\sqrt{D{A}^2+D{C}^2+D{D}_1^2}=\sqrt{16+16+9}=5$，$A_{1}D=\sqrt{16+9}=5$， $BD=\sqrt{D{A}^2+D{C}^2}=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$。 由余弦定理， $\cos \angle B{A}_{1}D=\frac{A_1{B}^2+A_1{D}^2-B{D}^2}{2\cdot A_{1}B\cdot A_{1}D}=\frac{25+25-32}{2\times 5\times 5}=\frac{9}{25}$。 因此，异面直线 $A_{1}B$ 与 $B_{1}C$ 所成角的大小为 $\arccos \frac{9}{25}$。 【法二】以 $D$ 为坐标原点，分别以 $DA$、$DC$、$D{D}_1$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴， 建立空间直角坐标系。则 $A_1(4,0,3)$，$B(4,4,0)$，$B_1(4,4,3)$，$C(0,4,0)$， 从而 $\overrightarrow{A_{1}B}=(0,4,-3)$，$\overrightarrow{B_{1}C}=(-4,0,-3)$。 设 $\overrightarrow{A_{1}B}$ 与 $\overrightarrow{B_{1}C}$ 的夹角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{B_{1}C}}{|\overrightarrow{A_{1}B}|\cdot |\overrightarrow{B_{1}C}|}=\frac{0+0+9}{5\times 5}=\frac{9}{25}$。 因此，异面直线 $A_{1}B$ 与 $B_{1}C$ 所成角的大小为 $\arccos \frac{9}{25}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体异面直线角

核心方法：平移法求异面角

避坑指南：$A_{1}D\parallel B_{1}C$，所成角即 $\angle B{A}_{1}D$，余弦定理 $\cos =\frac{9}{25}$；异面角取锐角或直角，余弦为正此题无歧义

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：异面直线所成角（长方体）

结论推广：找平行线平移异面直线之一，构造三角形用余弦定理

方法推广：异面角范围 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，余弦值为负时取补角；长方体中平移目标常在对角面上

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-15 填-异面直线所成角
• 2011-上海卷文-20 解-异面直线角与体积

专题合集 (Series)