2006-上海春-16 单-函数值域求交集

本题导读

$A=[-1,1]$（三次方根的值域），$B=(-\infty ,1]$（$y=2-\frac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上），$A\cap B=[-1,1]$，选 B。

📌【题干】

Question

若集合 $A=\left\{y|y=x^{\frac{1}{3}},-1⩽x⩽1\right\}$，$B=\left\{y|y=2-\frac{1}{x},0<x⩽1\right\}$，则 $A\cap B$ 等于（　） (A) $(-\infty ,1]$ (B) $[-1,1]$ (C) $\varnothing$ (D) $\{1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=x^{\frac{1}{3}}$ 在 $[-1,1]$ 上单调递增，值域 $A=[-1,1]$。
2. $y=2-\frac{1}{x}$，$x\in (0,1]$ 时 $\frac{1}{x}\in [1,+\infty )$，故 $y=2-\frac{1}{x}\in (-\infty ,1]$，$B=(-\infty ,1]$。
3. $A\cap B=[-1,1]\cap (-\infty ,1]=[-1,1]$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

集合 $A$ 是函数 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 在 $[-1,1]$ 上的值域。 幂函数 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，故 $A=[-1,1]$。 集合 $B$ 是函数 $y=2-\frac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上的值域。 当 $x\in (0,1]$ 时，$\frac{1}{x}\in [1,+\infty )$，故 $y=2-\frac{1}{x}\in (-\infty ,1]$，即 $B=(-\infty ,1]$。 所以 $A\cap B=[-1,1]\cap (-\infty ,1]=[-1,1]$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数值域求交集

核心方法：先求值域再取交

避坑指南：$A=[-1,1]$，$B=(-\infty ,1]$，交集 $[-1,1]$；$y=x^{\frac{1}{3}}$ 在 $[-1,1]$ 单调递增别当成根式定义域

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数值域与集合运算

结论推广：集合的元素是 $y$ 时先求函数值域，再做交运算

方法推广：描述法集合先辨元素是 $x$ 还是 $y$，是 $y$ 则转化为值域问题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-02 填-集合交集定参
• 2010-新课标Ⅰ文-01 单-集合交集

专题合集 (Series)