2006-上海春-11 填-截距三角形面积最小值

本题导读

由 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$ 得 $b=\frac{a}{a-2}$，$S=\frac{a^2}{2(a-2)}$，换元 $t=a-2$ 后用均值不等式得最小值 $4$。

📌【题干】

Question

已知直线 $l$ 过点 $P(2,1)$，且与 $x$ 轴、$y$ 轴的正半轴分别交于 $A$、$B$ 两点，$O$ 为坐标原点，则三角形 $OAB$ 面积的最小值为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $A(a,0)$、$B(0,b)$（$a>0$，$b>0$），直线截距式为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$。
2. 过点 $(2,1)$：$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，即 $ab=a+2b$。
3. 面积 $S=\frac{ab}{2}=\frac{a+2b}{2}$。由 $b=\frac{a}{a-2}$（$a>2$）换元 $t=a-2>0$。
4. $S=\frac{(t+2{)}^2}{2t}=\frac{t}{2}+2+\frac{2}{t}⩾2\sqrt{\frac{t}{2}\cdot \frac{2}{t}}+2=4$。
5. 取等条件 $\frac{t}{2}=\frac{2}{t}$，即 $t=2$、$a=4$、$b=2$，最小值为 $4$。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

设直线与 $x$ 轴、$y$ 轴正半轴分别交于 $A(a,0)$、$B(0,b)$（$a>2$，$b>1$）， 则直线方程为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$。由过点 $P(2,1)$ 得 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，即 $2b+a=ab$。 于是 $b=\frac{a}{a-2}$，三角形 $OAB$ 的面积 $S=\frac{ab}{2}=\frac{a^2}{2(a-2)}$。 令 $t=a-2>0$，则 $a=t+2$， $S=\frac{(t+2{)}^2}{2t}=\frac{t^2+4t+4}{2t}=\frac{t}{2}+2+\frac{2}{t}⩾2\sqrt{\frac{t}{2}\cdot \frac{2}{t}}+2=4$。 当且仅当 $\frac{t}{2}=\frac{2}{t}$，即 $t=2$、$a=4$、$b=2$ 时取等号。 故三角形 $OAB$ 面积的最小值为 $4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：截距三角形面积最小值

核心方法：截距式配 1 的代换或换元

避坑指南：由 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$ 得 $b=\frac{a}{a-2}$，$S=\frac{a^2}{2(a-2)}$，换元 $t=a-2$ 得 $S=\frac{t}{2}+\frac{2}{t}+2⩾4$；取等 $a=4,b=2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：截距式与均值不等式

结论推广：截距三角形面积结合截距约束，换元后用均值不等式

方法推广：条件含 $\frac{m}{a}+\frac{n}{b}=1$ 时，面积最值优先考虑”反解一个变量”或”$1$ 的代换”

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-14 填-均值不等式求最值
• 2013-新课标Ⅱ理-12 单-直线的截距与交点

专题合集 (Series)