2006-上海春-08 填-正四棱锥体积

本题导读

底面对角线一半 $2\sqrt{2}$，高 $h=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2}{)}^2}=1$，$V=\frac{1}{3}\times 16\times 1=\frac{16}{3}$。

📌【题干】

Question

正四棱锥底面边长为 $4$，侧棱长为 $3$，则其体积为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 底面是边长 $4$ 的正方形，面积 $S=16$；底面中心到顶点的距离为对角线的一半，即 $\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
2. 高、侧棱、底面中心到顶点连线构成直角三角形，$h=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{9-8}=1$。
3. $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times 16\times 1=\frac{16}{3}$。

✅【答案】

Success

$\frac{16}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

底面正方形边长为 $4$，面积为 $S=4^2=16$。 底面正方形对角线长为 $4\sqrt{2}$，其一半为 $2\sqrt{2}$，即底面中心到各顶点的距离。 正四棱锥的高 $h$、侧棱长 $3$ 与 $2\sqrt{2}$ 构成直角三角形， 由勾股定理 $h=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{9-8}=1$。 故体积 $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times 16\times 1=\frac{16}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱锥体积

核心方法：勾股定理求高

避坑指南：底面中心到顶点 $2\sqrt{2}$，高 $h=\sqrt{9-8}=1$，$V=\frac{16}{3}$；对角线一半别算成整条对角线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正棱锥体积基本量

结论推广：高、侧棱、底面外接圆半径构成直角三角形

方法推广：正棱锥计算抓住”高—斜高—边心距”与”高—侧棱—外接圆半径”两个直角三角形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-08 单-正四棱锥体积
• 2010-上海卷文-06 填-四棱锥体积

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