2006-上海文-22 解-对勾函数单调性与最值

本题导读

本题考查对勾函数的性质。核心在于对勾函数单调区间求最值。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(文)） 已知函数 $y=x+\frac{a}{x}$ 有如下性质：如果常数 $a>0$，那么该函数在 $(0,\sqrt{a}]$ 上是减函数，在 $[\sqrt{a},+\infty )$ 上是增函数。 （1）如果函数 $y=x+\frac{2^b}{x}$（$x>0$）在 $(0,4]$ 上是减函数，在 $[4,+\infty )$ 上是增函数，求 $b$ 的值； （2）设常数 $c\in [1,4]$，求函数 $f(x)=x+\frac{c}{x}$（$1⩽x⩽2$）的最大值和最小值； （3）当 $n$ 是正整数时，研究函数 $g(x)=x^n+\frac{c}{x^n}$（$c>0$）的单调性，并说明理由。

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）由对勾函数性质，$y=x+\frac{2^b}{x}$ 的单调转折点为 $\sqrt{2^b}$。
2. 由题设在 $(0,4]$ 减、$[4,+\infty )$ 增，故 $\sqrt{2^b}=4$，即 $2^b=16$，$b=4$。
3. （2）$f(x)=x+\frac{c}{x}$ 在 $(0,\sqrt{c}]$ 减、$[\sqrt{c},+\infty )$ 增；结合 $1⩽x⩽2$ 与 $\sqrt{c}\in [1,2]$ 分段讨论最值。
4. （3）令 $t=x^n$，$g=t+\frac{c}{t}$，用对勾函数性质，再按 $n$ 奇偶回代 $x$ 讨论。

✅【答案】

Success

(1)$b=4$

(2)最小值为 $2\sqrt{c}$，最大值为 $\{\begin{array}{ll}2+\frac{c}{2},& 1⩽c⩽2\\ 1+c,& 2⩽c⩽4\end{array}$

(3)见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）函数 $y=x+\frac{2^b}{x}$ 的单调转折点为 $\sqrt{2^b}$。 由题设该函数在 $(0,4]$ 上是减函数、在 $[4,+\infty )$ 上是增函数，故 $\sqrt{2^b}=4$， 即 $2^b=16$，解得 $b=4$。 【注】原题函数为 $y=x+\frac{2^b}{x}$（$2$ 的 $b$ 次方），文本层将上标 $b$ 误识为普通字符，易误看成"$2b$"；按 $\sqrt{2^b}=4$ 推得 $b=4$，与答案册一致。 （2）由对勾函数性质，$f(x)=x+\frac{c}{x}$ 在 $(0,\sqrt{c}]$ 上减、在 $[\sqrt{c},+\infty )$ 上增。 因为 $c\in [1,4]$，故 $\sqrt{c}\in [1,2]$，于是当 $x=\sqrt{c}$ 时 $f(x)$ 取得最小值 $2\sqrt{c}$。 又 $f(1)-f(2)=\left(1+c\right)-\left(2+\frac{c}{2}\right)=\frac{c}{2}-1=\frac{c-2}{2}$， 故当 $1⩽c⩽2$ 时 $f(1)⩽f(2)$，最大值为 $f(2)=2+\frac{c}{2}$； 当 $2⩽c⩽4$ 时 $f(1)⩾f(2)$，最大值为 $f(1)=1+c$。 （3）令 $r=\sqrt[2n]{c}$（即 $r^{2n}=c$）。当 $x>0$ 时，令 $t=x^n$，则 $g(x)=t+\frac{c}{t}$。 由对勾函数性质，$t+\frac{c}{t}$ 在 $(0,\sqrt{c}]$ 上减、在 $[\sqrt{c},+\infty )$ 上增，而 $\sqrt{c}=r^n$， 故 $g(x)$ 在 $(0,r]$ 上减、在 $[r,+\infty )$ 上增。 当 $n$ 为奇数时，$g(x)$ 是奇函数，故在 $(-\infty ,-r]$ 上增、在 $[-r,0)$ 上减； 当 $n$ 为偶数时，$g(x)$ 是偶函数，故在 $(-\infty ,-r]$ 上减、在 $[-r,0)$ 上增。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对勾函数单调性与最值

核心方法：对勾函数拐点求参、分段求最值、推广归纳

避坑指南：$y=x+\frac{2^b}{x}$ 拐点 $\sqrt{2^b}=4$ 得 $b=4$；$f(x)$ 在 $[1,2]$ 上最小值在 $x=\sqrt{c}$ 取得，最大值比较端点；奇偶性推广分 $n$ 奇偶

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 对勾函数性质与推广，函数综合压轴题

结论推广: 对勾函数 $y=x+\frac{a}{x}$ 的单调区间求参，推广到 $x^n+\frac{c}{x^n}$

方法推广: 对勾函数拐点 $\sqrt{a}$ 是单调性分界，奇偶性由指数 $n$ 决定

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-重庆文-07 单-均值不等式最值
• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性