2006-上海文-18 解-余弦定理解三角形方位角

本题导读

本题考查余弦定理。核心在于建系解三角形求方位角。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(文)） 如图，当甲船位于 $A$ 处时获悉，在其正东方向相距 $20$ 海里的 $B$ 处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 $30^{\circ }$，相距 $10$ 海里 $C$ 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 $B$ 处救援？（角度精确到 $1^{\circ }$）

🔍【思路分析】

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1. 以 $A$ 为原点、正东为 $x$ 轴正方向建系。
2. $B=(20,0)$；$C$ 在 $A$ 南偏西 $30^{\circ }$ 距 $10$ 处，故 $C=(-5,-5\sqrt{3})$。
3. $\overrightarrow{CB}=(25,5\sqrt{3})$，求其与正北方向的夹角。
4. $\tan \theta =\frac{25}{5\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}$，$\theta \approx 70.9^{\circ }$，即北偏东约 $71^{\circ }$。

✅【答案】

Success

乙船应朝北偏东约 $71^{\circ }$ 的方向沿直线前往 $B$ 处救援

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为坐标原点、正东方向为 $x$ 轴正方向建立直角坐标系。 则 $B=(20,0)$；由 $C$ 在 $A$ 南偏西 $30^{\circ }$、相距 $10$ 海里，得 $C=(-10\sin 30^{\circ },-10\cos 30^{\circ })=(-5,-5\sqrt{3})$。 于是 $\overrightarrow{CB}=B-C=(25,5\sqrt{3})$。 设 $\overrightarrow{CB}$ 与正北方向（$y$ 轴正方向）的夹角为 $\theta$，则 $\tan \theta =\frac{25}{5\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}\approx 2.887$，故 $\theta \approx 70.9^{\circ }\approx 71^{\circ }$。 所以乙船应朝北偏东约 $71^{\circ }$ 的方向沿直线前往 $B$ 处救援。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理解三角形方位角

核心方法：建系解三角形求方位角

避坑指南：以 $A$ 为原点建系定 $B,C$ 坐标，$\overrightarrow{CB}$ 与正北夹角 $\tan \theta =\frac{25}{5\sqrt{3}}$；方向角要注明”北偏东”

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 余弦定理解实际方位问题，应用题

结论推广: 实际问题建系，用余弦定理或坐标求方位角

方法推广: 方位角问题先画示意图定坐标，注意”北偏东""南偏西”表述

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-21 解-航行相遇解三角形应用
• 2008-上海卷文-17 解-扇形小区余弦定理