2006-上海文-17 解-同角关系与两角和求值

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系。核心在于同角关系求值。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(文)） 已知 $\alpha$ 是第一象限的角，且 $\cos \alpha =\frac{5}{13}$，求 $\frac{\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)}{\cos (2\alpha +4\pi )}$ 的值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\alpha$ 是第一象限角、$\cos \alpha =\frac{5}{13}$，得 $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\frac{12}{13}$。
2. 分子：$\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha +\cos \alpha )$。
3. 分母：$\cos (2\alpha +4\pi )=\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$。
4. 代入化简。

✅【答案】

Success

$-\frac{13\sqrt{2}}{14}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha$ 是第一象限角且 $\cos \alpha =\frac{5}{13}$，所以 $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$。 于是分子 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4}+\cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}$ $=\frac{12}{13}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{5}{13}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{17\sqrt{2}}{26}$。 分母 $\cos (2\alpha +4\pi )=\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\cdot \frac{25}{169}-1=-\frac{119}{169}$。 故原式 $=\frac{\frac{17\sqrt{2}}{26}}{-\frac{119}{169}}=\frac{17\sqrt{2}}{26}\cdot \left(-\frac{169}{119}\right)=-\frac{13\sqrt{2}}{14}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角关系与两角和求值

核心方法：同角关系求值、两角和差展开

避坑指南：$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$ 定正号（第一象限），$\cos (2\alpha +4\pi )=\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$；别漏 $4\pi$ 的周期

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 同角关系与两角和差，基础求值题

结论推广: 同角关系定其他三角比，两角和差公式展开求值

方法推广: 求值题先定象限符号，再套公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-广东文-16 解-三角化一给值求值
• 2013-广东卷理-16 解-两角和差余弦