2006-上海文-12 填-距离坐标计数

本题导读

本题考查点到直线的距离，以及轨迹思想。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(文)） 如图，平面中两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 相交于点 $O$。对于平面上任意一点 $M$，若 $p$、$q$ 分别是 $M$ 到直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的距离，则称有序非负实数对 $(p,q)$ 是点 $M$ 的”距离坐标”。根据上述定义，“距离坐标”是 $(1,2)$ 的点的个数是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 到直线 $l_1$ 距离为 $1$ 的点，分布在两条与 $l_1$ 平行、相距 $1$ 的直线上。
2. 到直线 $l_2$ 距离为 $2$ 的点，分布在两条与 $l_2$ 平行、相距 $2$ 的直线上。
3. 这两组平行线（$2$ 条 × $2$ 条）两两相交，共 $2\times 2=4$ 个交点。
4. 这些交点同时满足到 $l_1$ 距离 $1$、到 $l_2$ 距离 $2$，故”距离坐标”为 $(1,2)$ 的点有 $4$ 个。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

到直线 $l_1$ 距离为 $1$ 的点集是与 $l_1$ 平行、距离为 $1$ 的两条直线； 到直线 $l_2$ 距离为 $2$ 的点集是与 $l_2$ 平行、距离为 $2$ 的两条直线。 这两组直线各有 $2$ 条，任意一条来自前一组与任意一条来自后一组都相交（因 $l_1,l_2$ 相交，各平行线不重合）， 共得到 $2\times 2=4$ 个交点，即”距离坐标”为 $(1,2)$ 的点有 $4$ 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：距离坐标计数

核心方法：到两直线定距的点计数

避坑指南：到 $l_1$ 距离 $1$ 有两条平行线、到 $l_2$ 距离 $2$ 有两条平行线，四线两两相交得 $4$ 点；两组平行线 $2\times 2=4$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 距离坐标（新定义），创新题

结论推广: 到定直线定距离的点集是平行线，交点计数

方法推广: 新定义题先理解定义，转化为熟悉的轨迹（到直线定距）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-03 单-点到直线距离
• 2008-四川文-14 填-圆上点到直线距离