2005-重庆卷理-21 解-椭圆与双曲线的

本题导读

本题主要考查双曲线方程的求解以及直线与圆锥曲线综合相交的取值范围问题。第二问的难点在于双重条件约束：直线必须同时与椭圆及双曲线都有两个不同的交点，需要同时列出两个判别式 $\Delta >0$，再结合向量数量积的不等式，进行三合一的交集求解。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 21. 已知椭圆 $C_1$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$，双曲线 $C_2$ 的左、右焦点分别为 $C_1$ 的左、右顶点，而 $C_2$ 的左、右顶点分别是 $C_1$ 的左、右焦点.

(1) 求双曲线 $C_2$ 的方程；

(2) 若直线 $l:y=kx+\sqrt{2}$ 与椭圆 $C_1$ 及双曲线 $C_2$ 都恒有两个不同的交点，且 $l$ 与 $C_2$ 的两个交点 $A$ 和 $B$ 满足 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}<6$ (其中 $O$ 为原点)，求 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（双曲线建型）：

• 从椭圆 $C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 中提取出长半轴 $a_1=2$、短半轴 $b_1=1$、半焦距 $c_1=\sqrt{a_1^2-b_1^2}=\sqrt{3}$。
• 对应互换：双曲线的半焦距 $c_2=a_1=2$；双曲线的实半轴 $a_2=c_1=\sqrt{3}$。利用 $b_2^2=c_2^2-a_2^2$ 算出 $b_2^2$，写出方程。

2. 第二问（多重约束求解范围）：

• 约束 ①：与椭圆有两个不同交点。联立直线 $l$ 与椭圆 $C_1$，列出一元二次方程，令其判别式 ${\Delta }_1>0$，求得 $k$ 的第一个范围。
• 约束 ②：与双曲线有两个不同交点。联立直线 $l$ 与双曲线 $C_2$，除了令判别式 ${\Delta }_2>0$ 外，还需注意二次项系数不能为 0，且交点不能在渐近线上。
• 约束 ③：满足向量数量积不等式。利用韦达定理写出 $x_1+x_2$ 和 $x_1{x}_2$。将 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2<6$ 全部转化为关于 $k$ 的代数式，解出对应的不等式区间。
• 最终对上述三个范围求交集。

✅【答案】

Success

$k^2$ 的取值范围为 $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{3}\right)\cup \left(\frac{13}{15},1\right)$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 求双曲线 $C_2$ 的方程

对于已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1$，可知： 长半轴平方 $a_1^2=4⟹a_1=2$，短半轴平方 $b_1^2=1⟹b_1=1$。 则椭圆的半焦距为 $c_1=\sqrt{a_1^2-b_1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$。 所以椭圆的左右顶点为 $(\pm 2,0)$，左右焦点为 $(\pm \sqrt{3},0)$。

由题意可知，双曲线 $C_2$ 的焦点和顶点与椭圆互换：

• 双曲线的实半轴 $a_2=c_1=\sqrt{3}⟹a_2^2=3$；
• 双曲线的半焦距 $c_2=a_1=2⟹c_2^2=4$。

根据双曲线中参数的关系 $b_2^2=c_2^2-a_2^2$： $b_2^2=4-3=1$

所以，双曲线 $C_2$ 的标准方程为： $\frac{x^2}{3}-y^2=1$

(2) 求 $k$ 的取值范围

我们要同时满足三个核心约束条件：

• 条件一：直线 $l$ 与椭圆 $C_1$ 有两个不同的交点 联立直线 $y=kx+\sqrt{2}$ 与椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1⟹x^2+4y^2-4=0$： $x^2+4(kx+\sqrt{2}{)}^2-4=0$ $x^2+4(k^2{x}^2+2\sqrt{2}kx+2)-4=0⟹(1+4k^2)x^2+8\sqrt{2}kx+4=0$

要使相交有两个不同交点，必须满足判别式 ${\Delta }_1>0$： ${\Delta }_1=(8\sqrt{2}k{)}^2-4\times (1+4k^2)\times 4=128k^2-16(1+4k^2)>0$ $128k^2-16-64k^2>0⟹64k^2>16⟹k^2>\frac{1}{4}$ 解得范围 ①： $k>\frac{1}{2}\text{或}k<-\frac{1}{2}$

• 条件二：直线 $l$ 与双曲线 $C_2$ 有两个不同的交点 联立直线 $y=kx+\sqrt{2}$ 与双曲线 $\frac{x^2}{3}-y^2=1⟹x^2-3y^2-3=0$： $x^2-3(kx+\sqrt{2}{)}^2-3=0$ $x^2-3(k^2{x}^2+2\sqrt{2}kx+2)-3=0⟹(1-3k^2)x^2-6\sqrt{2}kx-9=0$

要使方程为一元二次方程且有两个不同实根，必须满足：

1. 二次项系数不为 0： $1-3k^2\ne 0⟹k^2\ne \frac{1}{3}$

2. 判别式 ${\Delta }_2>0$： ${\Delta }_2=(-6\sqrt{2}k{)}^2-4\times (1-3k^2)\times (-9)>0$ ${\Delta }_2=72k^2+36(1-3k^2)=72k^2+36-108k^2=36-36k^2>0$ $36k^2<36⟹k^2<1$ 综合可得范围 ②： $-1<k<1\text{且}k\ne \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

• 条件三：交点 $A,B$ 满足 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}<6$ 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 是直线与双曲线的交点。由上述双曲线联立方程，根据韦达定理： $x_1+x_2=\frac{6\sqrt{2}k}{1-3k^2},x_1{x}_2=\frac{-9}{1-3k^2}$

进行向量数量积的代数展开： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=x_1{x}_2+(k{x}_1+\sqrt{2})(k{x}_2+\sqrt{2})$ $=x_1{x}_2+k^2{x}_1{x}_2+\sqrt{2}k(x_1+x_2)+2=(1+k^2)x_1{x}_2+\sqrt{2}k(x_1+x_2)+2$

代入韦达定理表达式： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=(1+k^2)\left(\frac{-9}{1-3k^2}\right)+\sqrt{2}k\left(\frac{6\sqrt{2}k}{1-3k^2}\right)+2$ $=\frac{-9-9k^2+12k^2}{1-3k^2}+2=\frac{3k^2-9}{1-3k^2}+\frac{2(1-3k^2)}{1-3k^2}$ $=\frac{3k^2-9+2-6k^2}{1-3k^2}=\frac{-3k^2-7}{1-3k^2}=\frac{3k^2+7}{3k^2-1}$

令其满足小于 6 的限制条件： $\frac{3k^2+7}{3k^2-1}<6⟹\frac{3k^2+7}{3k^2-1}-6<0$ $\frac{3k^2+7-6(3k^2-1)}{3k^2-1}<0⟹\frac{3k^2+7-18k^2+6}{3k^2-1}<0⟹\frac{13-15k^2}{3k^2-1}<0$

不等式两边同乘以负号改变不等号方向： $\frac{15k^2-13}{3k^2-1}>0⟹(15k^2-13)(3k^2-1)>0$ 解得 $k^2$ 的范围为： $k^2<\frac{1}{3}\text{或}{k}^2>\frac{13}{15}$ 结合开方，得到范围 ③。

• 最后一步：对所有范围取交集 我们将条件一、二、三汇总为关于 $k^2$ 的统一形式进行数轴交集比对更为简便： $\{\begin{array}{ll}{k}^2>\frac{1}{4}& (\text{由 }{\Delta }_1>0)\\ k^2<1\text{ 且 }{k}^2\ne \frac{1}{3}& (\text{由 }{\Delta }_2>0)\\ k^2<\frac{1}{3}\text{ 或 }{k}^2>\frac{13}{15}& (\text{由 向量条件})\end{array}$

进行区间重叠合并：

1. 在 $k^2<\frac{1}{3}$ 这一侧：合并 $k^2>\frac{1}{4}$ 得 $\frac{1}{4}<k^2<\frac{1}{3}$；
2. 在 $k^2>\frac{1}{15}$ 这一侧：合并 $k^2<1$ 得 $\frac{13}{15}<k^2<1$。

综上所述， $k^2$ 的取值范围为 $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{3}\right)\cup \left(\frac{13}{15},1\right)$。 对其开平方根，求得 $k$ 的最终取值范围为： $\left(-1,-\frac{\sqrt{195}}{15}\right)\cup \left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{195}}{15},1\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线与椭圆几何常数的对调重组、多重曲线判别式的联立限制、向量积的代数函数化。 核心方法：韦达定理整体代换法、参数 $k^2$ 整体数轴交集法。

避坑指南：

• 千万不要漏掉双曲线的联立约束 ${\Delta }_2>0$ 以及二次项系数不为 0。很多学生在做题时往往只关注了向量数量积不等式，完全忽视了直线必须保证与双曲线有“两个交点”这一隐藏的大前提，从而导致最终解出来的范围无限扩大。
• 善于利用 $k^2$ 作为中间变量可以大幅度降低开方带来的运算混乱。在处理多重根式边界时，统一在数轴上画出 $k^2$ 的范围，最后一步再统一开方，是规避正负号错漏的最高效手段。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将向量条件改为模长或夹角已知，用数量积坐标运算反求参数，体会向量代数的通性通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)