2005-重庆卷理-20 解-空间两直线垂直的性质与判定

本题导读

本题主要考查立体几何中异面直线的距离以及二面角的求解。核心切入点是利用题目中给出的线面垂直关系 $AB\perp \text{侧面 }B{B}_1{C}_{1}C$ 建立正交的空间直角坐标系，将空间位置与角度计算转化为向量代数运算。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 20. 如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $AB\perp \text{侧面 }B{B}_1{C}_{1}C$， $E$ 为棱 $C{C}_1$ 上异于 $C,C_1$ 的一点， $EA\perp E{B}_1$.已知 $AB=\sqrt{2}$， $B{B}_1=2$， $BC=1$， $\angle BC{C}_1=\frac{\pi }{3}$.求：

(1) 异面直线 $AB$ 与 $E{B}_1$ 的距离；

(2) 二面角 $A-E{B}_1-A_1$ 的平面角的正切值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：利用 $AB\perp \text{侧面 }B{B}_1{C}_{1}C$，以 $B$ 为原点， $BA$ 所在直线为 $x$ 轴。在平行四边形侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内，以 $BC$ 为 $y$ 轴，过 $B$ 作 $BC$ 的垂线为 $z$ 轴，建立右手空间直角坐标系。
2. 确定点 $E$ 的坐标：设 $\overrightarrow{CE}=t\overrightarrow{C{C}_1}=t\overrightarrow{B{B}_1}$，利用 $\overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{E{B}_1}=0$ 建立方程解出 $t$，确定点 $E$ 的位置。
3. 第一问（异面直线距离）：由于 $AB\perp \text{侧面 }B{B}_1{C}_{1}C$，且 $E{B}_1\subset \text{侧面 }B{B}_1{C}_{1}C$，故 $AB\perp E{B}_1$。两异面直线的距离即点 $B$ 到直线 $E{B}_1$ 的距离。
4. 第二问（二面角平面角）：由 $E{B}_1\perp AB$ 且 $E{B}_1\perp EA$ 可得 $E{B}_1\perp \text{平面 }AE{B}_1$。因此包含 $E{B}_1$ 的平面 $A_{1}E{B}_1$ 与平面 $AE{B}_1$ 垂直，二面角为 $90^{\circ }$。

✅【答案】

Success

建立直角坐标系，令B=(0,0,0)，C=(1,0,0)，并令z轴垂直于侧面BB1C1C，则A=(0,0,√2)

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：建立空间直角坐标系与顶点坐标推导 在平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内，过点 $B$ 作 $BC$ 的垂线 $z$ 轴。以 $B$ 为原点， $BC$ 所在直线为 $y$ 轴， $\overrightarrow{BA}$ 所在直线为 $x$ 轴，建立空间直角坐标系 $B-xyz$。

侧棱 $\overrightarrow{B{B}_1}$ 在 $y$ 轴和 $z$ 轴上的投影分量为： $y_{B_1}=B{B}_1\cdot \cos 60^{\circ }=2\times \frac{1}{2}=1$ $z_{B_1}=B{B}_1\cdot \sin 60^{\circ }=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

各顶点的空间坐标为： $B(0,0,0),C(0,1,0),B_1(0,1,\sqrt{3}),A(\sqrt{2},0,0)$ $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}=(0,1,\sqrt{3})⟹A_1(\sqrt{2},1,\sqrt{3})$

设 $\overrightarrow{CE}=t\overrightarrow{C{C}_1}=t\overrightarrow{B{B}_1}=(0,t,\sqrt{3}t)$ ($t\in (0,1)$)，得点 $E$ 坐标为： $E(0,1+t,\sqrt{3}t)$

• 第二步：利用垂直关系确定点 $E$ 的位置 由 $EA\perp E{B}_1⟹\overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{E{B}_1}=0$。 $\overrightarrow{EA}=(\sqrt{2},-1-t,-\sqrt{3}t)$ $\overrightarrow{E{B}_1}=(0,-t,\sqrt{3}(1-t))$ $\overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{E{B}_1}=(-1-t)(-t)+(-\sqrt{3}t)\cdot \sqrt{3}(1-t)=4t^2-2t=0$ $\because t\ne 0,\therefore t=\frac{1}{2}$。 故 $E\left(0,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，且 $\overrightarrow{E{B}_1}=\left(0,-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

• (1) 求异面直线 $AB$ 与 $E{B}_1$ 的距离 $\because AB\perp \text{侧面 }B{B}_1{C}_{1}C$，且 $E{B}_1\subset \text{侧面 }B{B}_1{C}_{1}C$， $\text{target}\therefore AB\perp E{B}_1$。 公垂线段长即为点 $B$ 到直线 $E{B}_1$ 的距离 $d$。 在直角 $△B{B}_{1}E$ 中， $B(0,0,0),B_1(0,1,\sqrt{3}),E\left(0,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$： $|\overrightarrow{B{B}_1}{|}^2=4,|\overrightarrow{BE}{|}^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=3,|\overrightarrow{E{B}_1}{|}^2={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=1$ $\because |\overrightarrow{BE}{|}^2+|\overrightarrow{E{B}_1}{|}^2=3+1=4=|\overrightarrow{B{B}_1}{|}^2$， $\therefore △B{B}_{1}E$ 是以 $E$ 为直角的直角三角形。 点 $B$ 到直线 $E{B}_1$ 的距离即直角边 $BE$ 的长度： $d=|\overrightarrow{BE}|=\sqrt{3}$ 故异面直线 $AB$ 与 $E{B}_1$ 的距离为 $\sqrt{3}$。

• (2) 求二面角 $A-E{B}_1-A_1$ 的平面角的正切值 $\because AB\perp E{B}_1$ 且 $EA\perp E{B}_1$， $AB\cap EA=A$， $\therefore E{B}_1\perp \text{平面 }AE{B}_1$。 $\because E{B}_1\subset \text{平面 }{A}_{1}E{B}_1$， $\therefore \text{平面 }AE{B}_1\perp \text{平面 }{A}_{1}E{B}_1$。 由此可知，二面角 $A-E{B}_1-A_1$ 的平面角为 $90^{\circ }$。 其正切值 $\tan 90^{\circ }$ 不存在。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的性质与判定、公垂线段的距离转化、直二面角的几何判定。
2. 避坑指南：第 (2) 问通过几何论证 $E{B}_1\perp \text{平面 }AE{B}_1$ 可直接秒杀面面垂直，无需盲目去求复杂的面法向量，从而避免繁琐的代数运算。由于二面角为 $90^{\circ }$，其正切值不存在。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将向量条件改为模长或夹角已知，用数量积坐标运算反求参数，体会向量代数的通性通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)