2005-重庆卷理-17 解-三角函数的诱导公式

本题导读

本题主要考查三角恒等变换与三角函数最值的综合应用。核心步骤是通过诱导公式和二倍角公式将复杂的函数式化简为 $A\sin (x+\phi )+B$ 的标准形式，随后在严格考虑原分式函数定义域限制的前提下，讨论参数 $a$ 对最值的影响。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 17. 若函数 $f(x)=\frac{1+\cos 2x}{4\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}-a\sin \frac{x}{2}\cos \left(\pi -\frac{x}{2}\right)$ 的最大值为 2，试确定常数 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定函数的定义域：由于函数中含有分式，分母不能为零，即 $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ne 0$。通过诱导公式化简分母，得出 $x$ 必须满足的隐蔽限制条件。
2. 运用三角公式恒等化简：

• 分式部分：分子利用二倍角公式 $\left(1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x\right)$ 降幂，分母利用诱导公式转化为 $\cos x$，约分化简。
• 乘积部分：利用诱导公式 $\cos \left(\pi -\frac{x}{2}\right)=-\cos \frac{x}{2}$ 提负号，再利用二倍角正弦公式 $\left(2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\sin x\right)$ 合并。

3. 利用辅助角公式重组：将化简后的式子整合成 $A\sin x+B\cos x$ 结构，通过辅助角公式化为 $A\sin (x+\phi )$ 的形式。
4. 分类讨论求最值：结合定义域挖去点的特征，分析最值取得的条件。由于辅助角公式的振幅为 $\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}$，需讨论顶点被挖去时是否会影响到最大值的取得，进而解出 $a$ 的值。

✅【答案】

Success

原函数的定义域满足cosx≠0.在此定义域内，1+cos2x4sin(π2+x)

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：确定定义域与恒等变换化简 首先分析函数 $f(x)$ 成立的大前提（分母不为零）： $4\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ne 0$ 根据诱导公式 $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$，所以必须满足： $\cos x\ne 0⟹x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$ 此时，依据定义域可得 $\sin x\ne \pm 1$。

接下来利用三角公式对 $f(x)$ 的各项进行化简：

1. 前半部分（分式项）： 利用二倍角余弦公式的变形 $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$，代入得： $\frac{1+\cos 2x}{4\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}=\frac{2{\cos }^{2}x}{4\cos x}=\frac{1}{2}\cos x$
2. 后半部分（乘积项）： 根据诱导公式 $\cos \left(\pi -\frac{x}{2}\right)=-\cos \frac{x}{2}$，代入得： $-a\sin \frac{x}{2}\cos \left(\pi -\frac{x}{2}\right)=-a\sin \frac{x}{2}\left(-\cos \frac{x}{2}\right)=a\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ 利用二倍角正弦公式 $2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\sin x⟹\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}\sin x$，代入得： $a\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{a}{2}\sin x$

将两部分合并，得到化简后的函数解析式： $f(x)=\frac{a}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x\left(x\ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\right)$

• 第二步：利用辅助角公式化归并求解最值 运用辅助角公式将二元单项式合并为一个正弦型函数： $f(x)=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}\sin (x+\phi )=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+1}\sin (x+\phi )$ 其中辅助角 $\phi$ 满足： $\tan \phi =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{a}{2}}=\frac{1}{a}$ （ $a\ne 0$ ）。

下面深入讨论函数的最大值。 通常情况下，正弦函数 $\sin (x+\phi )$ 的最大值可以达到 1。 但由于定义域限制了 $x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}$，我们需要检验当 $\sin (x+\phi )=1$ 时，对应的 $x$ 是否在定义域内。 若 $\sin (x+\phi )=1⟹x+\phi =2k\pi +\frac{\pi }{2}⟹x=2k\pi +\frac{\pi }{2}-\phi$。

为了保证最大值能够顺利取得，该 $x$ 绝对不能等于排除点 $m\pi +\frac{\pi }{2}$： 假设其重合，则 $2k\pi +\frac{\pi }{2}-\phi =m\pi +\frac{\pi }{2}⟹\phi =(2k-m)\pi$。 这意味着 $\phi$ 是 $\pi$ 的整数倍，从而 $\tan \phi =0$。 然而根据辅助角定义 $\tan \phi =\frac{1}{a}\ne 0$，这说明引发冲突的假设不成立。 结论：抛物正弦曲线的顶点处（ $\sin (x+\phi )=1$ ）绝对不会落在被定义域挖出的孔洞点上，即最大值 1 恒可顺利取得。

• 第三步：列方程求参数 $a$ 的值 因为 $\sin (x+\phi )$ 的最大值为 1，所以函数 $f(x)$ 的最大值为： $f(x{)}_{\text{max}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+1}\times 1=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+1}$

题目已知最大值为 2，由此列出方程： $\frac{1}{2}\sqrt{a^2+1}=2⟹\sqrt{a^2+1}=4$ 两边平方： $a^2+1=16⟹a^2=15$ 解得： $a=\pm \sqrt{15}$

综合上述，常数 $a$ 的值为 $\pm \sqrt{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式和诱导公式的化简组合、辅助角公式振幅通项表达、分式定义域的边界逻辑检验。
2. 核心方法：三角恒等变换化归法、反证排除边界法。
3. 避坑指南：

• 后半部分变形时切记不要弄错正负号。 $\cos \left(\pi -\frac{x}{2}\right)=-\cos \frac{x}{2}$ 会产生一个负号，与前方的 $-a$ 相乘后负负得正，变为 $+a\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$。如果此处符号弄错，虽然由于最后求的是 $a^2$ 导致数值可能凑巧正确，但在大题的中间步骤中属于严重扣分点。
• 解答题中必须有对“定义域挖空点是否影响最值取得”的逻辑论证。高考解答题阅卷极度看重思维的严密性，直接写最大值为 $\frac{1}{2}\sqrt{a^2+1}$ 而不解释挖空点是否冲突，会被酌情扣除 1~2 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年重庆高考理科数学第 17 题（解答题第一题），属于高考解答题中典型的三角恒等变换与性质综合考查题。
2. 结论推广：对于形如 $f(x)=A\sin x+B\cos x$ 且带有分母约束 $\cos x\ne 0$ 的函数，其能取得最值 $\pm \sqrt{A^2+B^2}$ 的充要条件是 $A\ne 0$。只要满足 $A\ne 0$，最值点就永远不会落在 $\cos x=0$ 的空洞上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)