2005-重庆卷理-16 填-抛物线的几何性质

本题导读

本题主要考查抛物线的几何性质与特殊四边形存在性的判定。利用抛物线的对称性、凹凸性以及平行弦中点连线的性质，判断各种四边形在抛物线上内接的可能性。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 16. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是$\underline{}$. (填写所有正确选项的序号) ① 菱形； ② 有 3 条边相等的四边形； ③ 梯形； ④ 平行四边形； ⑤ 有一组对角相等的四边形.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平行四边形与菱形分析 (①, ④)：平行四边形（包含菱形）的特征是两组对边分别平行。若四边形为平行四边形，则存在两组平行弦。在抛物线中，利用中点重合可推出顶点重合的矛盾，说明抛物线上不存在平行四边形。
2. 梯形分析 (③)：梯形只需一组对边平行。可以在抛物线上取两条长度不相等的平行弦，其四个端点即可构成梯形（如等腰梯形）。
3. 有 3 条边相等的四边形分析 (②)：可由对称性考虑。取一个关于对称轴对称的等腰梯形，通过调整底边和腰长的相对大小，使两条腰与其中一底边长度相等。
4. 有一组对角相等的四边形分析 (⑤)：固定三个点，让第四个点在抛物线上滑动，观察对角角度的连续变化。

✅【答案】

Success

②③⑤

✍【详细解析】

Abstract

解： 不失一般性，设抛物线方程为 $y=x^2$。

• 第一步：分析平行四边形和菱形（选项 ① 和 ④） 假设抛物线上存在四个点 $A,B,C,D$ 能构成平行四边形 $ABCD$。 平行四边形对角线互相平分，即线段 $AC$ 的中点与线段 $BD$ 的中点重合。

设 $A(x_1,x_1^2)$， $B(x_2,x_2^2)$， $C(x_3,x_3^2)$， $D(x_4,x_4^2)$。 由于中点重合，其横、纵坐标分别相等： $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_3=x_2+x_4\\ x_1^2+x_3^2=x_2^2+x_4^2\end{array}$

由第一式移项得： $x_1-x_2=x_4-x_3$。 由第二式移项并利用平方差公式展开得： $x_1^2-x_2^2=x_4^2-x_3^2⟹(x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_4-x_3)(x_4+x_3)$

若 $x_1\ne x_2$（点不重合），则可以在两边约去 $(x_1-x_2)$ 和 $(x_4-x_3)$，得到： $x_1+x_2=x_4+x_3$

联立中点横坐标方程： $\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=x_4-x_3\\ x_1+x_2=x_4+x_3\end{array}$ 两式相加得 $2x_1=2x_4⟹x_1=x_4$，进而得 $x_2=x_3$。 这说明点 $A$ 与点 $D$ 重合，点 $B$ 与点 $C$ 重合，无法构成四边形。 结论：抛物线上不存在四个点能构成平行四边形，故 ④ 错误；菱形属于特殊的平行四边形，同样不存在，故 ① 错误。

• 第二步：分析梯形（选项 ③） 要在抛物线上构造梯形，只需找两条相互平行的非等长弦。 设两条水平弦（平行于 $x$ 轴）： 取 $A(-1,1),D(1,1)$，此时线段 $AD\parallel x$ 轴，长度为 $2$。 取 $B(-2,4),C(2,4)$，此时线段 $BC\parallel x$ 轴，长度为 $4$。 显然 $AD\parallel BC$ 且 $AD\ne BC$，而两腰 $AB$ 与 $CD$ 显然不平行。 此时四边形 $ABCD$ 为等腰梯形。 结论：可能是梯形，故 ③ 正确。

• 第三步：分析有 3 条边相等的四边形（选项 ②） 利用第二步中构造的轴对称等腰梯形模型。设四边形顶点为 $A(-x_1,x_1^2)$， $D(x_1,x_1^2)$， $C(x_2,x_2^2)$， $B(-x_2,x_2^2)$，其中 $0<x_1<x_2$。 此时上底 $AD=2x_1$。两腰由对称性自然相等： $AB=CD$。 欲满足“3条边相等”，只需令腰长等于上底长，即 $CD=AD$： $CD=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(x_2^2-x_1^2{)}^2}=2x_1$ 两边平方并利用平方差公式化简： $(x_2-x_1{)}^2+(x_2-x_1{)}^2(x_2+x_1{)}^2=4x_1^2$ $(x_2-x_1{)}^2\left[1+(x_2+x_1{)}^2\right]=4x_1^2$

令 $x_1=1$，方程变为 $(x_2-1{)}^2\left[1+(x_2+1{)}^2\right]=4$。 设 $g(x_2)=(x_2-1{)}^2\left[1+(x_2+1{)}^2\right]-4$。 当 $x_2=1$ 时， $g(1)=-4<0$；当 $x_2=2$ 时， $g(2)=1\times (1+9)-4=6>0$。 根据零点存在性定理，在区间 $(1,2)$ 内必然存在一个实数根 $x_2$，使得腰长严格等于上底长。 结论：可能是有 3 条边相等的四边形，故 ② 正确。

• 第四步：分析有一组对角相等的四边形（选项 ⑤） 设 $A,B,D$ 三点在抛物线上固定，让点 $C$ 在抛物线上滑动，则 $\angle C$ 随 $C$ 的位置连续变化，可以取到与 $\angle A$ 相等的值，故存在四个点使四边形有一组对角相等。 结论：可以有一组对角相等的四边形，故 ⑤ 正确。

综合上述，正确的选项序号为 ②③⑤。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面特殊四边形的判定、抛物线内接多边形的性质。
2. 核心方法：中点坐标代换法、零点存在性定理。
3. 避坑指南：

• 切勿把平行四边形当成可能选项。抛物线是严格凸的二次曲线，其上任意四点不能构成平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）。
• 善于利用等腰梯形。等腰梯形是抛物线内接图形中最对称、最容易写出坐标的图形，由它出发可证明 ② 和 ③。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年重庆高考理科数学第 16 题，考查抛物线内接四边形的判定。
2. 结论推广：椭圆上可以内接平行四边形（其中心与椭圆中心重合）；抛物线和双曲线的一支上不能内接平行四边形。

🔗【关联脉络】

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• 18.03 抛物线专题全总结

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