2005-重庆卷理-09 单-椭圆的标准方程与代数特征

本题导读

本题主要考查椭圆方程与二次函数最值的综合应用。利用等式关系消去自变量 $x^2$，将二元最值问题转化为一元二次函数在闭区间上的最值问题，重点考查二次函数的对称轴与定义域区间相对位置的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 9. 若动点 $(x,y)$ 在曲线 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($b>0$) 上变化，则 $x^2+2y$ 的最大值为 ()

A. $\{\begin{array}{ll}\frac{b^2}{4}+4,& 0<b<4\\ 2b,& b⩾4\end{array}$ B. $\{\begin{array}{ll}\frac{b^2}{4}+4,& 0<b<2\\ 2b,& b⩾2\end{array}$ C. $\frac{b^2}{4}+4$ D. $2b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 消元转化为一元函数：由椭圆方程可得 $x^2=4\left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)$。将其代入目标代数式 $x^2+2y$ 中，消去 $x$，得到关于 $y$ 的一元二次函数。
2. 确定自变量的隐蔽定义域：由于 $x^2⩾0$，从椭圆的几何范围或代数特征可知， $y$ 的取值范围被严格限制在闭区间 $[-b,b]$ 内。
3. 轴动区间定分类讨论：分析该一元二次函数的对称轴位置。由于对称轴包含参数 $b$，需要讨论对称轴是在定义域区间 $[-b,b]$ 的内部还是外部，分别计算并确定其最大值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：消元建立一元二次函数模型 已知动点 $(x,y)$ 在椭圆曲线 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上，由此可得： $\frac{x^2}{4}=1-\frac{y^2}{b^2}⟹x^2=4-\frac{4}{b^2}{y}^2$

因为 $x^2⩾0$，所以 $4-\frac{4}{b^2}{y}^2⩾0⟹y^2⩽b^2$，解得 $y$ 的定义域区间为： $y\in [-b,b]$

将 $x^2$ 的表达式代入目标代数式 $z=x^2+2y$ 中： $z=4-\frac{4}{b^2}{y}^2+2y=-\frac{4}{b^2}{y}^2+2y+4(y\in [-b,b])$

• 第二步：分析二次函数的对称轴 该二次函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为： $y=-\frac{2}{2\cdot \left(-\frac{4}{b^2}\right)}=\frac{2}{\frac{8}{b^2}}=\frac{b^2}{4}$

• 第三步：结合定义域 $[-b,b]$ 对参数 $b$ 进行分类讨论 由于开口向下，最大值的位置取决于对称轴 $y=\frac{b^2}{4}$ 与区间 $[-b,b]$ 的相对位置：

1. 情况一：对称轴落在区间内部 即 $\frac{b^2}{4}⩽b$。由于 $b>0$，两边同除以 $b$ 得： $0<b⩽4$ 此时，二次函数在顶点处取得最大值。将 $y=\frac{b^2}{4}$ 代入函数解析式中： $z_{\text{max}}=-\frac{4}{b^2}\cdot {\left(\frac{b^2}{4}\right)}^2+2\cdot \left(\frac{b^2}{4}\right)+4=-\frac{4}{b^2}\cdot \frac{b^4}{16}+\frac{b^2}{2}+4$ $z_{\text{max}}=-\frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{2}+4=\frac{b^2}{4}+4$

2. 情况二：对称轴落在区间右侧外部 即 $\frac{b^2}{4}>b$。由于 $b>0$，两边同除以 $b$ 得： $b>4$ 此时，由于对称轴在区间 $[-b,b]$ 的右侧，函数在区间 $[-b,b]$ 上单调递增。 因此，最大值在区间右端点 $y=b$ 处取得。将 $y=b$ 代入函数解析式中： $z_{\text{max}}=-\frac{4}{b^2}\cdot b^2+2b+4=-4+2b+4=2b$

• 第四步：综合归纳分段结论 综合以上两种情况，目标代数式 $x^2+2y$ 的最大值为： $z_{\text{max}}=\{\begin{array}{ll}\frac{b^2}{4}+4,& 0<b<4\\ 2b,& b⩾4\end{array}$

综合上述， (A) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解析几何曲线范围的代数约束、二次函数在闭区间上的“动轴定区间”最值讨论。
2. 核心方法：一元二次函数最值代数放缩法。
3. 避坑指南：

• 切勿漏掉自变量 $y\in [-b,b]$ 的区间限制。如果没有注意到椭圆本身对坐标范围的固有约束，就会想当然地认为最大值永远在顶点 $\frac{b^2}{4}$ 处取得，从而误选 C。
• 分类讨论的临界点必须精确推导。部分同学容易主观认为临界点是区间端点 $b=2$，导致错选 B。一定要列出不等式 $\frac{b^2}{4}⩽b$ 进行严谨求解，得出临界判别点为 4。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年重庆高考理科数学第 9 题，是考查解析几何几何范围与代数最值分类讨论思想的经典中档压轴选择题。
2. 结论推广：在解析几何中，凡是遇到形如 $A{x}^2+By+C$ 在二次曲线 $m{x}^2+n{y}^2=1$ 下求最值的问题，均可通过平方项消元退化为一元二次函数。其核心难点恒在于将二次曲线的截距边界转化为二次函数的闭区间定义域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)