2005-重庆卷理-07 单-空间中平面与平面的位置关系

本题导读

本题主要考查立体几何中面面平行的判定条件。需要熟练掌握空间中点、线、面的位置关系定理，并能够通过长方体模型或空间反例对各类不确定命题进行准确的排除与判定。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 7. 对于不重合的两个平面 $\alpha$ 与 $\beta$，给定下列条件： ① 存在平面 $\gamma$，使得 $\alpha$、 $\beta$ 都垂直于 $\gamma$； ② 存在平面 $\gamma$，使得 $\alpha$、 $\beta$ 都平行于 $\gamma$； ③ $\alpha$ 内有不共线的三点到 $\beta$ 的距离相等； ④ 存在异面直线 $l$、 $m$，使得 $l\parallel \alpha$, $l\parallel \beta$, $m\parallel \alpha$, $m\parallel \beta$. 其中，可以判定 $\alpha$ 与 $\beta$ 平行的条件有 ()

A. 1 个　　　　　B. 2 个　　　　　C. 3 个　　　　　D. 4 个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析条件 ①（双面垂直）：思考垂直于同一个平面的两个平面是否必须平行。可通过教室的墙面模型（如相邻两面墙都垂直于地面，但它们彼此相交）寻找反例。
2. 分析条件 ②（双面平行）：根据空间平行的传递性，即“平行于同一平面的两个平面互相平行”进行判定。
3. 分析条件 ③（不共线三点等距）：当不共线三点分布在已知平面的两侧（如三角形的两点在平面一侧，第三点在平面另一侧）时，平面可能发生相交，通过反例进行判定。
4. 分析条件 ④（两条异面直线分别平行于两平面）：两条异面直线可以通过平移转化为相交直线。若相交直线同时平行于两个平面，根据面面平行的判定定理，两个平面必然平行。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 依次对 4 个条件进行空间几何分析与判定：

• 判定条件 ①：不能判定平行 如果平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 都垂直于平面 $\gamma$，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的位置关系可能是平行，也可能是相交。

• 反例：在长方体中，前侧面和左侧面都垂直于底面，但前侧面与左侧面相互垂直（相交）。 因此，条件 ① 无法确定 $\alpha \parallel \beta$。

• 判定条件 ②：可以判定平行 根据空间几何中关于平面平行的公理和传递性性质：平行于同一个平面的两个平面互相平行。 由于已知 $\alpha$ 与 $\beta$ 是不重合的两个平面，且均平行于 $\gamma$，则必然有 $\alpha \parallel \beta$。 因此，条件 ② 成立。

• 判定条件 ③：不能判定平行 $\alpha$ 内不共线的三个点构成一个三角形。这三个点到平面 $\beta$ 的距离相等，存在两种空间排布可能：

1. 三个点在平面 $\beta$ 的同侧：此时包含该三角形的平面 $\alpha$ 必然平行于 $\beta$。

2. 两个点在平面 $\beta$ 的同侧，第三个点在平面 $\beta$ 的异侧： 如上图所示，只要第三个点到 $\beta$ 的距离等于前两点到 $\beta$ 的距离，此时平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 必然相交（且 $\beta$ 平分这两侧点构成的空间高度）。 因此，条件 ③ 无法确定 $\alpha \parallel \beta$。

• 判定条件 ④：可以判定平行 已知 $l,m$ 为异面直线，且 $l\parallel \alpha ,m\parallel \alpha$。 我们在平面 $\alpha$ 内选定一点，引两条分别平行于 $l$ 和 $m$ 的相交直线 $l^{\prime },m^{\prime }$。根据线面平行的性质， $l^{\prime }$ 和 $m^{\prime }$ 确定的平面就是 $\alpha$。 同理，因为 $l\parallel \beta ,m\parallel \beta$，这组相交直线 $l^{\prime },m^{\prime }$ 也必然平行于平面 $\beta$。 根据面面平行的判定定理：“一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行”，可得 $\alpha \parallel \beta$。 因此，条件 ④ 成立。

综上所述，可以判定 $\alpha$ 与 $\beta$ 平行的条件有 ② 和 ④，共 2 个。

综合上述， (B) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体几何面面平行的判定定理、空间点线面的位置关系特征。
2. 核心方法：直观图反例排除法、线面夹角平移转化法。
3. 避坑指南：

• 条件 ③ 是极易失分的经典陷阱。很多同学想当然地认为“三点等距”就代表面面面平行。一定要注意“同侧”与“异侧”的区别。只有当条件限定为“$\alpha$ 内的所有点到 $\beta$ 的距离相等”或“不共线三点在 $\beta$ 的同侧等距”时，才能判定平行。
• 在草稿纸上利用长方体模型进行实物推演。长方体的顶角、棱边、面墙提供了最完美的直角空间框架，能够帮助考生在几秒钟内快速验证出 ① 和 ③ 的反例模型。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年重庆高考理科数学第 7 题，考查了立体几何中核心判定定理的逆命题与变式，属于对空间想象力要求较高的概念判定题。
2. 结论推广：条件 ④ 实际上是面面平行判定定理的等价推论。在空间中，只要能找到一个平面（或一组异面直线基底）在方向上与另两个平面同时保持平行关系，那么这两个不重合的平面就具备唯一的法线朝向，即两平面必定平行。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

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