2005-重庆卷理-05 单-基本不等式

本题导读

本题主要考查基本不等式在求二元代数式最值中的应用，需要熟练掌握多项式的展开、同类项的分组整合以及连续多次运用均值不等式时“等号能同时成立”的严格条件。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 5. 若 $x,y$ 是正数，则 ${\left(x+\frac{1}{2y}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2x}\right)}^2$ 的最小值是 ()

A. 3　　　　　　　B. $\frac{7}{2}$　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. $\frac{9}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 完全平方展开：首先将两个完全平方式分别展开，把得到的六个单项式按照对称性进行合理的分组（二次项、倒数二次项、交叉项）。
2. 两两分组运用基本不等式：

• 针对交叉项 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$，利用基本不等式求出其常数下界。
• 针对平方项与倒数项，分别利用 $x^2+y^2⩾2xy$ 和 $\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{4y^2}⩾\frac{1}{2xy}$ 将二元变量转化为关于整体乘积 $xy$ 的一元表达式。

3. 整体换元求最值并验证等号：令 $t=xy$，对剩余部分再次运用基本不等式，并严格验证每次使用不等式时，取等号的条件是否完全一致。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 设目标代数式为 $S={\left(x+\frac{1}{2y}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2x}\right)}^2$。 因为 $x,y$ 是正数，将 $S$ 展开可得： $S=\left(x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{2y}+\frac{1}{4y^2}\right)+\left(y^2+2\cdot y\cdot \frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^2}\right)$ $S=x^2+\frac{x}{y}+\frac{1}{4y^2}+y^2+\frac{y}{x}+\frac{1}{4x^2}$

将上述六项按照结构对称性进行重新分组： $S=(x^2+y^2)+\left(\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{4y^2}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)$

下面对这三组分别运用基本不等式（ $a^2+b^2⩾2ab$ ）进行放缩：

1. 第一组： $x^2+y^2⩾2xy$ （当且仅当 $x=y$ 时等号成立）
2. 第二组： $\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{4y^2}⩾2\sqrt{\frac{1}{4x^2}\cdot \frac{1}{4y^2}}=\frac{1}{2xy}$ （当且仅当 $\frac{1}{2x}=\frac{1}{2y}⟹x=y$ 时等号成立）
3. 第三组： $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}⩾2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot \frac{y}{x}}=2$ （当且仅当 $\frac{x}{y}=\frac{y}{x}⟹x=y$ 时等号成立）

将这三个放缩结果相加，得到： $S⩾2xy+\frac{1}{2xy}+2$

设 $t=xy$，由于 $x,y$ 为正数，则 $t>0$。上式变为： $S⩾2t+\frac{1}{2t}+2$

再次对 $2t+\frac{1}{2t}$ 运用基本不等式： $2t+\frac{1}{2t}⩾2\sqrt{2t\cdot \frac{1}{2t}}=2$ （当且仅当 $2t=\frac{1}{2t}⟹4t^2=1⟹t=\frac{1}{2}$ 即 $xy=\frac{1}{2}$ 时等号成立）

由此可得： $S⩾2+2=4$

等号成立的条件验证： 要求所有不等式同时取得等号，必须满足： $\{\begin{array}{l}x=y\\ xy=\frac{1}{2}\end{array}⟹x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 因为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是正数，符合题设要求，所以等号可以顺利取得。

因此，该代数式的最小值是 4。

综合上述， (C) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元对称式最值的基本不等式链式放缩。
2. 核心方法：对称拆项分组法、整体换元法。
3. 避坑指南：

• 切记多次运用基本不等式时必须检查“等号能否同时成立”。本题中前三组放缩的取等条件全部为 $x=y$，最后一组的取等条件为 $xy=\frac{1}{2}$，这两者并不冲突，可联立解出确定的 $x,y$ 值。若两类取等条件发生冲突，则不能直接相加求最值。
• 利用“对称性”直接设 $x=y$ 在选择题中可快速破题。由于结构完全对称且无约束方程，最小值必在 $x=y$ 时取得。直接代入 $x=y$ 可得 $2(x+\frac{1}{2x}{)}^2=2(x^2+\frac{1}{4x^2}+1)⩾2(1+1)=4$，15 秒内即可秒杀此题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年重庆高考理科数学第 5 题，属于考查均值不等式代数变形能力的经典拔高选择题。
2. 结论推广：若 $x,y>0$ 且无约束条件，则对于任意正常数 $k$，代数式 ${\left(x+\frac{k}{y}\right)}^2+{\left(y+\frac{k}{x}\right)}^2$ 的最小值为 $8k$。本题中 $k=\frac{1}{2}$，代入即可直接得到最小值为 $8\times \frac{1}{2}=4$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)