2005-重庆卷理-03 单-函数的奇偶性

本题导读

本题主要考查偶函数的对称性与其单调性的复合应用，要求通过函数在半轴上的单调性与已知零点，推导出全定义域上的函数值分布规律。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 3. 若函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，在 $(-\infty ,0]$ 上是减函数，且 $f(2)=0$，则使得 $f(x)<0$ 的 $x$ 的取值范围是 ()

A. $(-\infty ,2)$　　B. $(2,+\infty )$　　C. $(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$　　D. $(-2,2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用奇偶性求另一侧单调性与零点：由 $f(x)$ 是偶函数可知，图象关于 $y$ 轴对称。由于在 $(-\infty ,0]$ 上是减函数，则在 $[0,+\infty )$ 上必为增函数。又由 $f(2)=0$ 可得 $f(-2)=f(2)=0$。
2. 数形结合或代数转化：

• 几何法：画出满足“关于 $y$ 轴对称、先减后增、零点为 $\pm 2$”的示意图，直接观察 $f(x)<0$（图象在 $x$ 轴下方）的区间。
• 代数法：利用偶函数性质将 $f(x)<0$ 转化为 $f(|x|)<f(2)$，再利用 $[0,+\infty )$ 上的单调性脱去函数符号 $f$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 方法一：数形结合法 $\because f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，且 $f(2)=0$， $\therefore f(-2)=f(2)=0$，即函数关于 $y$ 轴对称，且零点为 $x=\pm 2$。

$\because f(x)$ 在 $(-\infty ,0]$ 上是减函数， $\therefore$ 根据偶函数的对称性， $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上是增函数。

通过以上性质可草绘出满足条件的函数简图：

由图象可知，当 $x$ 从 0 向右增大到 2 时，函数单调递增且 $f(2)=0$，故当 $x\in [0,2)$ 时， $f(x)<f(2)=0$。 同理，根据对称性，当 $x\in (-2,0]$ 时，也有 $f(x)<0$。 综合两部分，使得 $f(x)<0$ 的 $x$ 的取值范围是 $(-2,2)$。 故 (D) 选项正确。

• 方法二：绝对值不等式法 $\because f(x)$ 是偶函数， $\therefore f(x)=f(|x|)$。 原不等式 $f(x)<0$ 可等价变形为： $f(|x|)<f(2)$

$\because f(x)$ 在 $(-\infty ,0]$ 上是减函数，根据偶函数的单调性取反规律， $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上是增函数。 由于 $|x|\in [0,+\infty )$ 且 $2\in [0,+\infty )$，在一侧严格单调递增区间内，自变量的大小关系与函数值的大小关系一致： $|x|<2$ 解该绝对值不等式得： $-2<x<2$ 即 $x$ 的取值范围是 $(-2,2)$。 故 (D) 选项正确。

综合上述， (D) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶函数性质与单调性联合求解不等式。
2. 核心方法：绝对值转化法 $f(x)=f(|x|)$、数形结合草图法。
3. 避坑指南：

• 切误盲目套用非对称区间的单调性。部分同学容易误认为在全定义域上也是减函数，从而解出 $x>2$ 导致错选 B。必须牢记偶函数在对称区间上的单调性必然相反。
• 利用绝对值法可以完美避免分类讨论。将 $x$ 直接化为 $|x|$ 后，便统一将自变量限缩在 $[0,+\infty )$ 这一侧，直接利用单调递增性质解题，不易漏根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题出自 2005 年重庆高考理科数学第 3 题，考查抽象函数的性质复合应用，是高考函数选择题中的传统经典题型。
2. 结论推广：

• 若 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，且在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，则 $f(a)<f(b)⟺|a|<|b|$。
• 若 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，且在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，则全定义域均单调递增， $f(a)<f(b)⟺a<b$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

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