2005-重庆卷理-01 单-圆的标准方程

本题导读

本题考查圆心坐标与半径的提取，以及点及曲线关于原点对称的代数特征。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)）

1. 圆 $(x+2{)}^2+y^2=5$ 关于原点 $(0,0)$ 对称的圆的方程为 ()

A. $(x-2{)}^2+y^2=5$　　　　　　　　　　B. $x^2+(y-2{)}^2=5$

C. $(x+2{)}^2+(y+2{)}^2=5$　　　　　　　D. $x^2+(y+2{)}^2=5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（几何法）：求出原圆的圆心坐标与半径。利用中心对称的几何性质，将圆心关于原点 $(0,0)$ 作对称变换得到新圆心，半径保持不变，即可写出新圆的方程。
2. 方法二（代数法）：根据曲线关于原点对称的代数变换规律，直接将原方程中的 $x$ 替换为 $-x$， $y$ 替换为 $-y$，化简即可。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 方法一：几何中心对称法 由已知圆的方程 $(x+2{)}^2+y^2=5$ 可知： 原圆的圆心为 $C(-2,0)$，半径 $R=\sqrt{5}$。

设原圆心 $C(-2,0)$ 关于原点 $(0,0)$ 的对称点为 $C^{\prime }$。 根据平面几何点关于原点对称的坐标变换规律 $(x,y)\to (-x,-y)$： $C^{\prime }=(2,0)$

由于对称变换不改变图形的形状与大小，对称后的圆半径仍为 $R=\sqrt{5}$。 所以，新圆的标准方程为： $(x-2{)}^2+(y-0{)}^2=(\sqrt{5}{)}^2⟹(x-2{)}^2+y^2=5$

• 方法二：代数代换法 设原圆上任意一点为 $P(x_0,y_0)$，其关于原点的对称点为 $P^{\prime }(x,y)$。 则有： $\{\begin{array}{l}{x}_0=-x\\ y_0=-y\end{array}$ 将 $\{\begin{array}{l}{x}_0=-x\\ y_0=-y\end{array}$ 代入原圆方程 $(x_0+2{)}^2+y_0^2=5$ 中： $(-x+2{)}^2+(-y{)}^2=5$ 由于 $(-x+2{)}^2=[-(x-2){]}^2=(x-2{)}^2$，且 $(-y{)}^2=y^2$，上式化简得： $(x-2{)}^2+y^2=5$

综合上述， (A) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆心坐标与半径的提取、点及曲线关于原点对称的代数特征。 核心方法：圆心对称变换法。

避坑指南：

• 切勿在提取圆心坐标时弄错正负号。标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ 中的圆心为 $(a,b)$。方程中是 $x+2$，对应的圆心横坐标应为 $-2$，若误记为 $2$，会导致后续对称后结果出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将圆的方程或直线条件改变，用几何法（垂径定理、切线性质）简化运算，避免盲目联立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)