2005-重庆卷文-21 解-双曲线方程与点积定斜率

本题导读

右焦点、右顶点一给，$a$ 与 $c$ 就定了，方程到手。第（2）问有两个条件要同时满足：“恒有两个不同的交点”给的是判别式为正，这是 $k$ 的第一个范围；$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}>2$ 联立、韦达代入后化成关于 $k$ 的不等式，这是第二个范围。两个取交集才是答案。

双曲线题最容易漏掉”交点存在”这一条：双曲线的两支可能只被直线碰到一支，判别式不加限制，后面的不等式就会算出多余的解。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 已知中心在原点的双曲线 $C$ 的右焦点为 $(2,0)$，右顶点为 $\left(\sqrt{3},0\right)$．

(1)求双曲线 $C$ 的方程；

(2)若直线 $l:y=kx+\sqrt{2}$ 与双曲线 $C$ 恒有两个不同的交点 $A$ 和 $B$，且 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}>2$（其中 $O$ 为原点），求 $k$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $c=2$、$a=\sqrt{3}$、$b^2=c^2-a^2=1$，方程 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$。
2. 联立消元：$(1-3k^2)x^2-6\sqrt{2}kx-9=0$，$\Delta =36(1-k^2)>0$ 给 $k^2<1$。
3. 韦达代入 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2>2$ 得 $\frac{-3k^2-7}{1-3k^2}>2$，结合分母符号解得 $\frac{1}{3}<k^2<1$。

✅【答案】

Success

（1）$\frac{x^2}{3}-y^2=1$

（2）$k\in \left(-1,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}}{3},1\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由题意 $c=2$，$a=\sqrt{3}$，则 $b^2=c^2-a^2=4-3=1$，故双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$． （2）将 $y=kx+\sqrt{2}$ 代入 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$，整理得 $(1-3k^2)x^2-6\sqrt{2}kx-9=0$．直线与双曲线恒有两个不同交点，须 $\{\begin{array}{l}1-3k^2\ne 0,\\ \Delta =72k^2+36(1-3k^2)=36(1-k^2)>0,\end{array}$ 得 $k^2<1$ 且 $k^2\ne \frac{1}{3}$．设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=\frac{6\sqrt{2}k}{1-3k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{-9}{1-3k^2}$，$y_1{y}_2=(k{x}_1+\sqrt{2})(k{x}_2+\sqrt{2})=k^2{x}_1{x}_2+\sqrt{2}k(x_1+x_2)+2=\frac{-9k^2+12k^2}{1-3k^2}+2=\frac{3k^2}{1-3k^2}+2$．于是 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=\frac{3k^2-9}{1-3k^2}+2=\frac{-3k^2-7}{1-3k^2}$．由 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}>2$：当 $1-3k^2<0$（$k^2>\frac{1}{3}$）时，不等式化为 $-3k^2-7<2-6k^2$，得 $k^2<3$，结合 $k^2>\frac{1}{3}$ 与 $k^2<1$ 得 $\frac{1}{3}<k^2<1$；当 $1-3k^2>0$（$k^2<\frac{1}{3}$）时，化为 $-3k^2-7>2-6k^2$，得 $k^2>3$，与 $k^2<1$ 矛盾，舍．故 $\frac{1}{3}<k^2<1$，即 $k\in \left(-1,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}}{3},1\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线方程与点积定斜率

核心方法：(1) $\frac{x^2}{3}-y^2=1$（$c=2$、$a=\sqrt{3}$）；(2) 韦达代入 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}>2$ 得 $k^2<1$ 且 $k^2>\frac{1}{3}$

避坑指南：$b^2=c^2-a^2=1$；点积条件化 $x_1{x}_2+y_1{y}_2>2$，代入韦达后按 $k^2$ 解不等式组——别忘”恒有两交点”的 $\Delta >0$ 先行

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 双曲线与直线

结论推广：$\frac{x^2}{3}-y^2=1$；$k\in \left(-1,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}}{3},1\right)$

方法推广：$c=2$、$a=\sqrt{3}$、$b^2=1$；点积不等式代入韦达化为 $k$ 的二次不等式，与 $\Delta >0$ 联立

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III文-09 单-双曲线焦点向量求距离
• 2010-重庆卷文-21 解-双曲线与向量数量积
• 2024-北京卷-13 填-直线与双曲线的交点