2005-重庆卷文-15 填-组合概率开锁问题

本题导读

本题考查古典概型中组合计数的应用。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 若 10 把钥匙中只有 2 把能打开某锁，则从中任取 2 把能将该锁打开的概率为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. “能打开”= 至少含一把好钥匙。
2. 分子：恰一把 ${\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_8^1$ 或两把 ${\mathrm{C}}_2^2$。
3. 总数 ${\mathrm{C}}_{10}^2$，作比。

✅【答案】

Success

$\frac{17}{45}$

✍【详细解析】

Abstract

从 10 把钥匙中任取 2 把，共有 ${\mathrm{C}}_{10}^2=45$ 种取法．能打开锁即所取 2 把中至少有 1 把好钥匙：恰 1 把好钥匙有 ${\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_8^1=16$ 种，2 把都是好钥匙有 ${\mathrm{C}}_2^2=1$ 种，合计 17 种．故所求概率为 $\frac{17}{45}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合概率开锁问题

核心方法：$P=\frac{{\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_8^1+{\mathrm{C}}_2^2}{{\mathrm{C}}_{10}^2}=\frac{17}{45}$

避坑指南：“能打开”含恰一把好钥匙与两把都是——分子 ${\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_8^1+{\mathrm{C}}_2^2=17$，总数 ${\mathrm{C}}_{10}^2=45$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 3 古典概型

结论推广：$\frac{{\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_8^1+{\mathrm{C}}_2^2}{{\mathrm{C}}_{10}^2}=\frac{17}{45}$

方法推广：“至少能开”分类：恰一把好钥匙或两把都是好钥匙；分子计数不重不漏

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-10 填-古典概型组合计数
• 2007-山东文-12 单-古典概型概率最值
• 2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合