2005-重庆卷文-14 填-圆上动点线性式最值

本题导读

本题考查圆上动点线性式最值的求解。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 若 $x^2+y^2=4$，则 $x-y$ 的最大值是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 参数化 $x=2\cos \theta$，$y=2\sin \theta$。
2. $x-y=2\cos \theta -2\sin \theta =2\sqrt{2}\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$。
3. 最大值 $2\sqrt{2}$。

✅【答案】

Success

$2\surd 2$

✍【详细解析】

Abstract

设 $x=2\cos \theta$，$y=2\sin \theta$，则 $x-y=2\cos \theta -2\sin \theta =2\sqrt{2}\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)⩽2\sqrt{2}$，当 $\theta =-\frac{\pi }{4}$ 时取等．故 $x-y$ 的最大值为 $2\sqrt{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆上动点线性式最值

核心方法：$x-y=\sqrt{2}\cos (\theta +\frac{\pi }{4})$ 最大 $2\sqrt{2}$（$x=2\cos \theta ,y=2\sin \theta$）

避坑指南：圆上动点线性式用参数式或柯西：$|x-y|⩽\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}=2\sqrt{2}$——最大值取等点在 $\theta =-\frac{\pi }{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 圆的参数方程

结论推广：$x=2\cos \theta$、$y=2\sin \theta$，$x-y$ 最大 $2\sqrt{2}$

方法推广：圆上动点 $Ax+By$ 型最值 $=\sqrt{A^2+B^2}\cdot r$；也可柯西不等式一步到位

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

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• 2007-上海卷文-21 解-果圆距离最值
• 2008-安徽文-22 解-椭圆焦点弦最值