2005-辽宁卷-22 解-导数的几何意义

本题导读

本题是导数综合题。第一问考查切线方程的表示；第二问通过构造函数，利用导数证明导函数递减时切线始终位于函数图象上方；第三问将第二问的结论作为工具，转化为双侧不等式恒成立问题。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 已知函数 $y=f(x)$ 在区间 $(0,+\infty )$ 内可导，导函数 $f^{\prime }(x)$ 是减函数，且 $f^{\prime }(x)>0$.设 $x_0\in (0,+\infty )$，$y=kx+m$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线方程，并设函数 $g(x)=kx+m$.

(1) 用 $x_0、f(x_0)、f^{\prime }(x_0)$ 表示 $m$；

(2) 证明：当 $x_0\in (0,+\infty )$ 时，$g(x)⩾f(x)$ 对任意 $x\in (0,+\infty )$ 恒成立；

(3) 若关于 $x$ 的不等式 $x^2+1⩾ax+b⩾\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}$ 在 $[0,+\infty )$ 上恒成立，其中 $a、b$ 为实数，求 $b$ 的取值范围及 $a$ 与 $b$ 所满足的关系.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：根据导数的几何意义，切线斜率 $k=f^{\prime }(x_0)$，代入点斜式方程即可反解出 $m$。
2. 第(2)问：构造辅助函数 $F(x)=g(x)-f(x)$，求导后利用 $f^{\prime }(x)$ 的单调递减性质判定 $F^{\prime }(x)$ 的符号，从而确定 $F(x)$ 的最小值在 $x=x_0$ 处取得，完成不等式证明。
3. 第(3)问：将 $h(x)=\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}$ 视为第(2)问中的 $f(x)$，其导函数在 $(0,+\infty )$ 上递减且大于 0。由此可得直线 $y=ax+b$ 在其上方对应的截距条件 $b⩾\frac{1}{2a^2}$；再结合左侧不等式 $x^2-ax+1-b⩾0$ 在 $[0,+\infty )$ 上恒成立，利用二次函数最值确定上界 $b⩽1-\frac{a^2}{4}$，联立求解。

✅【答案】

Success

(1) $m=f(x_0)-x_0{f}^{\prime }(x_0)$；

(2) 见解析；

(3) $b$ 的取值范围为 $\left[\frac{2-\sqrt{2}}{4},\frac{2+\sqrt{2}}{4}\right]$，且 $a$ 与 $b$ 所满足的关系为 $\frac{1}{2a^2}⩽b⩽1-\frac{a^2}{4}$。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由导数的几何意义可知，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线斜率为 $k=f^{\prime }(x_0)$。 故该切线方程为： $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)⟹y=f^{\prime }(x_0)x+f(x_0)-x_0{f}^{\prime }(x_0)$ 又已知切线方程为 $g(x)=kx+m$，对比系数可得： $k=f^{\prime }(x_0)$ $m=f(x_0)-x_0{f}^{\prime }(x_0)$

(2) 证明： 构造辅助函数 $F(x)=g(x)-f(x)$，由(1)知： $F(x)=f^{\prime }(x_0)x+f(x_0)-x_0{f}^{\prime }(x_0)-f(x)(x>0)$ 对 $F(x)$ 求导得： $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x_0)-f^{\prime }(x)$ 因为 $f^{\prime }(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内是减函数，所以： 当 $0<x<x_0$ 时，$f^{\prime }(x)>f^{\prime }(x_0)$，此时 $F^{\prime }(x)<0$，$F(x)$ 在 $(0,x_0)$ 上单调递减； 当 $x>x_0$ 时，$f^{\prime }(x)<f^{\prime }(x_0)$，此时 $F^{\prime }(x)>0$，$F(x)$ 在 $(x_0,+\infty )$ 上单调递增。 因此， $F(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得最小值。 $F(x{)}_{\min }=F(x_0)=g(x_0)-f(x_0)=f(x_0)-f(x_0)=0$ 故对任意 $x\in (0,+\infty )$，恒有 $F(x)⩾0$，即 $g(x)⩾f(x)$。

(3) 解： 设 $h(x)=\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}$ ($x⩾0$)。当 $x>0$ 时，$h^{\prime }(x)=x^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$。 易知 $h^{\prime }(x)>0$ 且 $h^{\prime }(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，符合第(2)问中 $f(x)$ 的条件。 根据第(2)问的结论，曲线 $y=h(x)$ 的任意切线始终位于曲线下方。 设切点横坐标为 $x_0>0$，则该切线方程为： $y=h^{\prime }(x_0)x+h(x_0)-x_0{h}^{\prime }(x_0)⟹y=x_0^{-\frac{1}{3}}x+\frac{1}{2}{x}_0^{\frac{2}{3}}$ 若直线 $y=ax+b$ 恒满足 $ax+b⩾\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}$，则对于给定的斜率 $a$（由图象趋势知 $a>0$），其截距 $b$ 必须大于或等于以此 $a$ 为斜率的切线截距。 令 $a=x_0^{-\frac{1}{3}}⟹x_0=a^{-3}$，代入截距表达式得切线截距为 $\frac{1}{2}(a^{-3}{)}^{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2a^2}$。 因此，右侧不等式恒成立的条件为： $b⩾\frac{1}{2a^2}\text{(1)}$

再考察左侧不等式 $x^2+1⩾ax+b$，移项变形为： $x^2-ax+1-b⩾0\text{对 }x\in [0,+\infty )\text{ 恒成立}$ 设 $P(x)=x^2-ax+1-b$，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 $x=\frac{a}{2}$。 因为 $a>0$，所以对称轴 $\frac{a}{2}>0$ 落在定义域内。 该二次函数在 $[0,+\infty )$ 上的最小值为 $P\left(\frac{a}{2}\right)$。 要使不等式恒成立，只需： $P\left(\frac{a}{2}\right)={\left(\frac{a}{2}\right)}^2-a\left(\frac{a}{2}\right)+1-b=1-b-\frac{a^2}{4}⩾0⟹b⩽1-\frac{a^2}{4}\text{(2)}$

联立 ①、② 可得 $a$ 与 $b$ 所满足的关系为： $\frac{1}{2a^2}⩽b⩽1-\frac{a^2}{4}$

下面求解 $b$ 的取值范围： 由上述不等式链可知，必须存在正实数 $a$ 使得 $\frac{1}{2a^2}⩽1-\frac{a^2}{4}$ 成立。 令 $t=a^2>0$，则有： $\frac{1}{2t}⩽1-\frac{t}{4}⟹2⩽4t-t^2⟹t^2-4t+2⩽0$ 解得：$2-\sqrt{2}⩽a^2⩽2+\sqrt{2}$。 根据函数单调性： 当 $a^2$ 增大时，下界 $\frac{1}{2a^2}$ 严格单调递减，上界 $1-\frac{a^2}{4}$ 严格单调递减。 当 $a^2=2+\sqrt{2}$ 时，下界达到最小值：$b_{\min }=\frac{1}{2(2+\sqrt{2})}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$； 当 $a^2=2-\sqrt{2}$ 时，上界达到最大值：$b_{\max }=1-\frac{2-\sqrt{2}}{4}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$。 由于区间 $[\frac{1}{2a^2},1-\frac{a^2}{4}]$ 随 $a^2$ 连续变动，其并集即为 $b$ 的取值范围。 故 $b$ 的取值范围为 $\left[\frac{2-\sqrt{2}}{4},\frac{2+\sqrt{2}}{4}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导函数递减时切线在曲线上方的性质；双侧不等式夹逼下的参数边界。
2. 核心方法：利用前问结论，取 $f(x)=\frac{3}{2}{x}^{2/3}$ 特殊化，避免再次求导。
3. 避坑指南：第三问涉及两个不等式，不能孤立求解。$b⩾\frac{1}{2a^2}$ 与 $b⩽1-\frac{a^2}{4}$ 是关于同一个变量 $a$ 的联动边界，$b$ 的范围由 $a^2$ 的可行区间确定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题第二问是导函数递减时切线在曲线上方这一性质的直接考查。
2. 结论推广：若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导，且 $f^{\prime \prime }(x)<0$（导函数单调递减），则对图象上任意一点处的切线 $g(x)$，在区间 $I$ 上恒有 $g(x)⩾f(x)$ 成立；反之，若 $f^{\prime \prime }(x)>0$，则恒有 $g(x)⩽f(x)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)