2005-辽宁卷-16 填-三角函数的奇偶性

本题导读

本题是一道集三角函数奇偶性、集合概念及区间点分布规律于一体的综合创新压轴填空题，意在考查将周期性点集的离散分布转化为连续不等式边界的数理辨析能力。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） $\omega$ 是正实数，设 $S_{\omega }=\{\theta \mid f(x)=\cos [\omega (x+\theta )]\text{ 是奇函数}\}$，若对每个实数 $a$，$S_{\omega }\cap (a,a+1)$ 的元素不超过 2 个，且有 $a$ 使 $S_{\omega }\cap (a,a+1)$ 含 2 个元素，则 $\omega$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依据余弦函数为奇函数的充要条件，求出集合 $S_{\omega }$ 中元素 $\theta$ 的通项，并确定数轴上点集中相邻两点之间的固有间距 $d$。
2. 明确开区间 $(a,a+1)$ 的长度恒为 1。
3. “任取区间至多含 2 个点”意味着 3 个点的跨度 $2d$ 必须大于或等于区间长度 1；“存在区间恰含 2 个点”要求 2 个点的跨度 $d$ 必须严格小于区间长度 1。
4. 联立关于 $d$ 的不等式组，代入消元解出 $\omega$ 的范围。

✅【答案】

Success

$(\pi ,2\pi ]$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)=\cos [\omega (x+\theta )]=\cos (\omega x+\omega \theta )$ 是奇函数， 所以其初相必须满足： $\omega \theta =\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 由于 $\omega >0$，解得： $\theta =\frac{\pi }{2\omega }+\frac{k\pi }{\omega }(k\in \mathbf{Z})$ 由此可知，集合 $S_{\omega }$ 在数轴上对应的点集构成一个等差数列，相邻两点之间的固有间距为： $d=\frac{\pi }{\omega }$ 已知开区间 $(a,a+1)$ 的长度为 1。

① 依题意，对任意实数 $a$，该区间内包含的点数不超过 2 个。 这说明任意连续 3 个点之间的总距离 $2d$ 必须大于或等于区间长度 1（若 $2d<1$，则必能构造出一个长度为 1 的开区间同时将这 3 个点成包裹在内），即： $2d⩾1⟹d⩾\frac{1}{2}$

② 依题意，存在某个实数 $a$，使得该区间内恰好包含 2 个元素。 这说明相邻两点之间的间距 $d$ 必须严格小于区间长度 1（若 $d⩾1$，由于目标区间是开区间，任何长度为 1 的开区间内部至多只能被迫装入 1 个点），即： $d<1$

综上所述，点集间距 $d$ 必须满足： $\frac{1}{2}⩽d<1$ 将 $d=\frac{\pi }{\omega }$ 代入该连不等式中： $\frac{1}{2}⩽\frac{\pi }{\omega }<1$ 由于 $\omega >0$，取倒数变形得： $1<\frac{\omega }{\pi }⩽2⟹\pi <\omega ⩽2\pi$ 故答案为：$(\pi ,2\pi ]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数 $y=\cos (\omega x+\varphi )$ 为奇函数的解析条件，以及离散点集在定长区间上的分布边界约束。
2. 核心方法：利用数轴直观判定“点距”与“区间长度”的量化关系。
3. 避坑指南：本题极易在端点处因开闭区间而判错符号。因为 $(a,a+1)$ 为开区间，当 $2d=1$ 时，区间两端恰好卡在两个端点外侧，内部只能含有 2 个点，故 $\frac{1}{2}$ 可以取到等号；同理，当 $d=1$ 时，开区间无法同时容纳两个端点，内部只能含 1 个点，故 1 不能取到等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由常规的三角函数图象对称性拓展出来的集合计数创新题，属于典型的“新瓶装旧酒”，核心考查思维的严密性。
2. 结论推广：对于数轴上相邻间距为 $d$ 的均匀点集，若要求其在长度为 $L$ 的开区间内包含的元素个数最多为 $N$ 个且存在能达到 $N$ 个的区间，则点距 $d$ 与区间长度 $L$ 的通用定量关系公式可推广为： $\frac{L}{N}⩽d<\frac{L}{N-1}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)