2005-辽宁卷-15 填-排列组合

本题导读

本题考查复杂限制条件下的排列组合问题，综合运用了“捆绑法”处理相邻元素以及“插空法”或“排除法”处理不相邻元素，考查分类讨论与缜密的逻辑计数能力。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 和 2 相邻，3 与 4 相邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻，这样的八位数共有 $\underline{}$ 个.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 元素捆绑：将要求相邻的 (1,2)、(3,4)、(5,6) 分别捆绑看作 3 个大元素，每个大元素内部有 ${\mathrm{A}}_2^2=2$ 种排列方式。
2. 插空处理：此时剩下 7 和 8 两个独立元素。先将 3 个大元素进行全排列，产生 4 个空位，然后将 7 和 8 插入到这 4 个空位中，确保 7 和 8 绝不相邻。
3. 根据分步乘法计数原理，将各步方法数相乘得出最终结果。

✅【答案】

Success

$576$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：处理相邻条件。 由于要求 1 与 2 相邻，3 与 4 相邻，5 与 6 相邻，可采用捆绑法： 将 (1,2) 视为元素 $X$，内部排列有 ${\mathrm{A}}_2^2=2$ 种； 将 (3,4) 视为元素 $Y$，内部排列有 ${\mathrm{A}}_2^2=2$ 种； 将 (5,6) 视为元素 $Z$，内部排列有 ${\mathrm{A}}_2^2=2$ 种。

第二步：进行大元素排列并为不相邻元素插空。 现在共有 $X,Y,Z$ 三个大元素，将它们进行全排列，共有 ${\mathrm{A}}_3^3$ 种排法。 三个大元素排好后，相互之间及两端共产生 4 个空位：$\bigsqcup X\bigsqcup Y\bigsqcup Z\bigsqcup$。

第三步：插入不相邻元素 7 和 8。 要求 7 与 8 不相邻，采用插空法：将 7 和 8 两个元素插入到上述 4 个空位中，共有 ${\mathrm{A}}_4^2$ 种插法。

第四步：根据分步乘法计数原理计算总数： $N=({\mathrm{A}}_2^2\times {\mathrm{A}}_2^2\times {\mathrm{A}}_2^2)\times {\mathrm{A}}_3^3\times {\mathrm{A}}_4^2$ $N=(2\times 2\times 2)\times (3\times 2\times 1)\times (4\times 3)$ $N=8\times 6\times 12=576$ 答案为：$576$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”。
2. 核心方法：先处理捆绑的复合元素全排列，再通过产生的间隙插入不相邻元素。
3. 避坑指南：① 极易忘记捆绑元素内部的局部排列（如 1 和 2 可以颠倒顺序）；② 在计算空位数时，注意 3 个元素全排列后两端加中间共有 $3+1=4$ 个空位，不要数错空位总数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是高考排列组合板块中经典的“特殊位置与特殊元素”处理题，完美融合了组合数学最基础的两大核心战术——“捆绑”与“插空”。
2. 结论推广：若有 $m$ 对元素分别各自相邻，另有 $n$ 个元素互不相邻（且除这两类外无其他元素），则总的排列方法数公式可一般化推广为： $N=(2!{)}^m\cdot m!\cdot {\mathrm{A}}_{m+1}^n$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)