2005-辽宁卷-12 单-函数图象的识别

本题导读

本题将数列的递推关系与函数的几何图象识别创新交汇，通过递推不等式转化为函数在区间上的恒成立问题，考查数形结合思想与抽象概括能力。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 一给定函数 $y=f(x)$ 的图象在下列图中，并且对任意 $a_1\in (0,1)$，由关系式 $a_{n+1}=f(a_n)$ 得到的数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}>a_n$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)，则该函数的图象是()

🔍【思路分析】

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1. 根据已知递推关系 $a_{n+1}=f(a_n)$ 及单调递增条件 $a_{n+1}>a_n$，将其转化为 $f(a_n)>a_n$。
2. 结合“对任意 $a_1\in (0,1)$ 均成立”，将此条件等价转化为函数图象在区间 $(0,1)$ 上恒满足 $f(x)>x$。
3. 利用数形结合思想，引入辅助直线 $y=x$，判断哪一个选项的图象完全位于直线 $y=x$ 的上方。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由题意可知，对任意初始值 $a_1\in (0,1)$，由递推关系 $a_{n+1}=f(a_n)$ 得到的数列均满足 $a_{n+1}>a_n$。 当 $n=1$ 时，必有 $a_2>a_1$，即 $f(a_1)>a_1$ 成立。 因为 $a_1$ 是区间 $(0,1)$ 内的任意实数，根据自变量的任意性，这意味着： 对任意的 $x\in (0,1)$，都有 $f(x)>x$ 恒成立。

在平面直角坐标系中，不等式 $f(x)>x$ 的几何意义表现为： 函数 $y=f(x)$ 的图象在开区间 $(0,1)$ 上完全位于第一象限角平分线（即直线 $y=x$）的上方。

现在对四个选项的图象进行分析： A选项：图象在 $(0,1)$ 上呈上凸状，完全位于直线 $y=x$ 的上方，恒有 $f(x)>x$，符合题意； B选项：图象在 $(0,1)$ 上呈下凸状，完全位于直线 $y=x$ 的下方，恒有 $f(x)<x$，不符合题意； C、D选项：图象在区间内部与直线 $y=x$ 相交，无法保证对任意 $x\in (0,1)$ 都有 $f(x)>x$ 成立。

综上所述，只有A选项的图象符合题意。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：递推数列单调性的代数性质抽象，以及不等式 $f(x)>x$ 的图象表现形式。
2. 核心方法：数形结合法。通过引入辅助基准线 $y=x$ 建立起代数递推式与几何空间位置的桥梁。
3. 避坑指南：切勿盲目从图象的凹凸性、波折形状等非本质特征入手进行主观臆断。必须紧扣“任意性”推导出“全区间恒大于”，进而准确锁定“高于对角线”的图象。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于一维离散动力系统与蛛网模型（Cobweb model）中关于一阶非线性递推序列单调性与不动点位置关系的理论，属于高等数学微积分背景初等化的优秀典型。
2. 结论推广：对于任意一阶递推关系 $a_{n+1}=f(a_n)$，若 $f(x)$ 严格单调递增且在区间 $I$ 内恒有 $f(x)>x$，则对任意初始值 $a_1\in I$，迭代序列 $\{a_n\}$ 必严格单调递增；反之，若在区间 $I$ 内恒有 $f(x)<x$，则对任意 $a_1\in I$，序列 $\{a_n\}$ 必严格单调递减。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)