2005-辽宁卷-11 单-抛物线的几何性质

本题导读

本题将双曲线与抛物线的性质交汇考查，通过准线重合确定双曲线的基本量与标准方程，再利用方程组联立求解交点坐标，最终求得交点到原点的距离。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 已知双曲线的中心在原点，离心率为 $\sqrt{3}$.若它的一条准线与抛物线 $y^2=4x$ 的准线重合，则该双曲线与抛物线 $y^2=4x$ 的交点到原点的距离是()

A. $2\sqrt{3}+\sqrt{6}$　　　　　　B. $\sqrt{21}$　　　　　　C. $18+12\sqrt{2}$　　　　　　D. 21

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由抛物线标准方程求出其准线方程。
2. 结合双曲线的离心率与准线方程，建立关于几何量 $a,b,c$ 的方程组，求出双曲线方程。
3. 将双曲线与抛物线方程联立，解出交点的横纵坐标（或其平方值），利用两点间距离公式求得结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线 $y^2=4x$ 可知 $2p=4$，其准线方程为 $x=-\frac{p}{2}=-1$。 由此可知双曲线的焦点在 $x$ 轴上，且其左准线为 $x=-\frac{a^2}{c}=-1$，即 $a^2=c$。 又已知双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，即 $c=\sqrt{3}a$。 代入上式得 $a^2=\sqrt{3}a$，因 $a>0$，解得 $a=\sqrt{3}$。 从而 $c=3$，$b^2=c^2-a^2=9-3=6$。 故双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$。

联立双曲线与抛物线方程： $\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1\\ y^2=4x\end{array}$ 将 $y^2=4x$ 代入双曲线方程得： $\frac{x^2}{3}-\frac{4x}{6}=1⟹x^2-2x-3=0$ 解得 $x=3$ 或 $x=-1$。 因为抛物线中 $x⩾0$，故 $x=-1$ 舍去，取 $x=3$。 将 $x=3$ 代入 $y^2=4x$ 得 $y^2=12$。 设交点为 $M(x,y)$，则交点到原点 $O(0,0)$ 的距离为： $OM=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3^2+12}=\sqrt{21}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：焦点在 $x$ 轴上的双曲线准线方程为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$，离心率 $e=\frac{c}{a}$。
2. 核心方法：利用交点在曲线上的条件，通过联立消元转化为一元二次方程求解。
3. 避坑指南：在解得 $x$ 的值后，必须结合抛物线自变量的实际取值范围（$x⩾0$）进行检验并舍项，防止误保留不合题意的根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中圆锥曲线几何性质的综合应用，是考查双曲线与抛物线联合定义的典型小题。
2. 结论推广：若中心在原点的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的一条准线与抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的准线 $x=-\frac{p}{2}$ 重合，且双曲线离心率为 $e$，则双曲线方程的几何量可表示为 $a=\frac{p}{2}e$，$c=\frac{p}{2}{e}^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)