2005-辽宁卷-09 单-图象的平移变换

本题导读

本题将向量平移与直线与圆的位置关系综合考查，意在测试图象平移的解析式变换规律以及利用圆心到直线的距离判断相切的几何方法。

📌【题干】

Question

（2005年辽宁卷） 若直线 $2x-y+c=0$ 按向量 $\vec{a}=(1,-1)$ 平移后与圆 $x^2+y^2=5$ 相切，则 $c$ 的值为()

A. 8 或 -2　　　B. 6 或 -4　　　C. 4 或 -6　　　D. 2 或 -8

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依据“左加右减，上加下减”或坐标代换规律，写出原直线按向量 $\vec{a}=(1,-1)$ 平移后的新直线方程。
2. 识别目标圆的圆心坐标与半径。
3. 利用圆心到直线的距离 $d$ 等于半径 $r$ 建立关于参数 $c$ 的绝对值方程，解出 $c$ 的值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设平移后直线上任意一点为 $(x,y)$，其对应的原直线上对应的点为 $(x_0,y_0)$。 根据向量平移公式有： $\{\begin{array}{l}x=x_0+1\\ y=y_0-1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_0=x-1\\ y_0=y+1\end{array}$ 将 $x_0,y_0$ 代入原直线方程 $2x_0-y_0+c=0$，得平移后的直线方程为： $2(x-1)-(y+1)+c=0$ 化简得： $2x-y+c-3=0$ 已知圆的方程为 $x^2+y^2=5$，可知圆心为 $O(0,0)$，半径 $r=\sqrt{5}$。 因为平移后的直线与圆相切，所以圆心 $O(0,0)$ 到该直线的距离 $d=r$，即： $d=\frac{|2\times 0-0+c-3|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|c-3|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ 由此得： $|c-3|=5$ 解得 $c-3=5$ 或 $c-3=-5$， 即 $c=8$ 或 $c=-2$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象或直线按向量 $\vec{a}=(h,k)$ 平移后，新解析式为 $f(x-h,y-k)=0$；直线与圆相切的充要条件 $d=r$。
2. 核心方法：利用圆的几何性质（圆心到切线距离等于半径）代替代数判别式法（$\Delta =0$），从而大幅减少运算量。
3. 避坑指南：极易在平移变换时混淆符号，错把 $x$ 替换为 $x+1$。记住“点平移用加法，坐标代换（图象平移）用减法”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中直线与圆位置关系的基本考查，结合了早年大纲卷中较为推崇的向量平移工具，属于经典的解析几何小题。
2. 结论推广：若直线 $Ax+By+C=0$ 按向量 $\vec{a}=(h,k)$ 平移后与圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ 相切，则平移后的直线方程为 $A(x-h)+B(y-k)+C=0$，参数所满足的一般性定量关系为： $\frac{|A(x_0-h)+B(y_0-k)+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=R$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 09.02 平面向量的线性运算
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)